1.Решите уравнение $%\frac{5tgx-12}{13cosx-5}=0$%

2.Найдите корни, принадлежащие отрезку [$%4\pi;\frac{11\pi} 2$%]

задан 22 Апр '14 21:33

изменен 22 Апр '14 21:33

10|600 символов нужно символов осталось
2

Прежде всего, если $%x$% -- решение, то $%\tan x=\frac{12}5$%. Отсюда $%1+\tan^2x=\frac{169}{25}$%, то есть $%\cos x=\pm\frac5{13}$%. С учётом знаменателя, должно быть $%\cos x=-\frac5{13}$%. Следовательно, $%\sin x=-\frac{12}{13}$%. Угол лежит в третьей четверти, и одно из значений можно задать как $%\arccos\frac5{13}+\pi$%. Следовательно, с учётом $%2\pi$%-периодичности, $%x=\arccos\frac5{13}+\pi(1+2k)$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%.

Теперь нас интересуют корни из заданного отрезка. Составляем двойное неравенство $%4\pi\le x\le\frac{11\pi}2$%, деля на $%\pi$%. Имеем $%4\le\frac1{\pi}\arccos\frac5{13}+(1+2k)\le\frac{11}2$%. Положим $%c=\frac1{\pi}\arccos\frac5{13}$%; это некая константа между $%0$% и $%\frac12$%. Получается, что $%\frac{3-c}2\le k\le\frac{9-2c}4$%. Лева граница неравенства находится между $%\frac54$% и $%\frac32$%. Правая граница -- строго между $%2$% и $%\frac94$%. Это значит, что неравенство имеет вид $%1,...\le k\le2,...$%, откуда ясно, что подходит только $%k=2$%. Таким образом, отрезку принадлежит ровно один корень $%x=\arccos\frac5{13}+5\pi$%.

ссылка

отвечен 22 Апр '14 23:57

@falcao, я рассуждал также вначале. У меня получился ответ : арктангенс плюс нечетный период. Завтра картинку помещу, скажите, что не так. Корень арктангенс 12/5 плюс 5pi

(23 Апр '14 0:14) epimkin

@epimkin: понятно, что это то же самое: арктангенс 12/5 равен арккосинусу 5/13, а также арксинусу 12/13. Эта часть совсем лёгкая. Я обратил внимание на то, как отделять корни, принадлежащие отрезку. Почему-то эта процедура вызывает много трудностей, согласно моим наблюдениям.

(23 Апр '14 0:16) falcao

@falcao , я не знаю, когда интервал небольшой и корни, скажем так, нечастые на мой взгляд проще давать значения энам и т.д и смотреть, чем решать неравенства двойные. Тем более некоторые и не умеют их решать. Правда до С они , скорей всего, и не доберутся

(23 Апр '14 0:25) epimkin

@epimkin: в принципе, я согласен. Здесь сам отрезок имеет длину меньше периода, и в него либо ничего не попадает, либо всего один корень. Нужное значение $%k$% подбирается, но здесь всё равно надо обосновывать это в виде неравенств. Я сам, когда такие примеры решаю "для себя", применяю именно двойные неравенства, а не подстановку. По-моему, так объективно лучше.

(23 Апр '14 0:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 23 Апр '14 13:17

1

@Darksider, второй файл посмотрите

(23 Апр '14 13:18) epimkin
1

@Darksider, пожалуйста

(24 Апр '14 16:52) epimkin

@epimkin: все все) я понял! Еще раз огромное Вам спасибо!))) Наконец-то дошло)

(24 Апр '14 17:05) Darksider

Ошибся, сути это не меняет

(24 Апр '14 17:05) epimkin

@epimkin: еще раз спасибо, за скан) это полезная информация для меня))

(24 Апр '14 17:06) Darksider
10|600 символов нужно символов осталось
1

Кстати вот такое решение мне было предложено после того, как я закончил решать работу. alt text

ссылка

отвечен 24 Апр '14 17:31

@falcao , @epimkin: решение тут представлено неподробно, поэтому изначально я затруднялся с ОДЗ.

(24 Апр '14 17:33) Darksider
1

@Darksider: да, в решении тут сообщено только самое основное. Надо при этом знать связь между арккосинусом и арктангенсом, и так далее. Также не показано, как находить корни из отрезка. То есть это не столько решение, сколько "расширенный ответ".

(24 Апр '14 18:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
-1

falcao," tanx=12/5. Отсюда 1+tan2x=169/25, то есть cosx=±5/13" это не правильно. Возводить в квадрат просто так нельзя- получишь лишние корни. cosx=-5/13 не является корнем tanx=12/5. проверим на кальк. cosx=-5/13 x=112.6град tg 112.6 =-2.4

Правильно написать так- tg(x)=12/5, x=arctg12/5 +piN, arctg (b)= acccos( 1/(1+b^2)^(0.5)), arctg(12/5)=arccos 5/13, x=arctg5/13 +piN,

x<>(не равно) +/- arccos(5/13)+2piN,

если нарисовать окружность получаем, что один корень вылетает,

Отсюда получаем x=pi+arccos(5/13)+2piN,

б) прикинем что за угол arccos(5/13);
arccos 0.5=pi/3 ; cos(pi/3+pi/4)=0.5/2^0.5 - 1/(2^0.5) *(sqrt3)/2=~0.258 не сложно посчитать в столбик,

cos x=(5/13); след угол между 60 град и 75град,

[4pi 5pi+pi/2] x=pi+arccos(5/13)+2pin n=2 x=5*pi+arccos(5/13)

ссылка

отвечен 27 Апр '14 17:31

изменен 27 Апр '14 23:36

@tooleg: если тангенс числа x равен 12/5, то его квадрат равен 144/25. Если прибавить единицу, то получится 169/25. Я так понимаю, цифра 9 на конце числа пропала в результате опечатки.

От равенства $%tg x=\frac{12}5$% можно перейти к следствию $%\cos x=\pm\frac5{13}$%. Разумеется, одно не равносильно другому, то есть обратная импликация ложна. Но равносильность здесь и не утверждалась. Оба случая далее проверялись (возведение в квадрат плюс проверка -- вещь совершенно стандартная), и лишний вариант тем самым отбрасывался.

(27 Апр '14 18:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,932
×947
×931

задан
22 Апр '14 21:33

показан
9437 раз

обновлен
27 Апр '14 23:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru