помогите пожалуйста решить неравенство

$$\big(\frac{4|x+1|}{x^2+8}\big)^{-x+\sqrt{x^2-2}}>1$$

задан 23 Апр '14 0:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я бы начал со сравнения с единицей положительного числа $%a=\frac{4|x+1|}{x^2+8}$%. Если составить уравнение $%a=1$%, то при $%x\ge-1$% получается $%x^2+8=4x+4$%, то есть $%(x-2)^2=0$%. Это значит, что при $%x=2$% имеет место равенство, и нам этот случай не подходит (так как 1 в любой степени равно 1). Если $%x\ne2$%, то знаменатель дроби больше числителя.

При $%x < -1$% получается $%x^2+8=-4x-4$%. Такое квадратное уравнение не имеет решений, и здесь тоже ясно, что знаменатель больше числителя.

Таким образом, для основания степени мы имеем неравенство $%0 < a < 1$% (при $%x\ne2$%). Показательная функция в этом случае убывает, и от неравенства $%a^b > 1=a^0$% мы переходим к неравенству $%b < 0$%. В данном случае получается $%\sqrt{x^2-2} < x$%. Ясно, что $%x$% положительно, и из неравенства $%x^2-2\ge0$% мы получаем $%x\ge\sqrt2$%. При таком условии неравенство, очевидно, справедливо: $%\sqrt{x^2-2} < \sqrt{x^2}=x$%.

Ответом будет $%x\in[\sqrt2;2)\cup(2;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 23 Апр '14 0:53

@falcao , у меня такой же ответ, решал методом ( ныне модным) рационализации) . Картинка завтра

(23 Апр '14 1:08) epimkin

@epimkin: а я "по-старинке" придерживаюсь рекомендации незабвенного Артемия Филипповича Земляники: "чем ближе к натуре, тем лучше, — лекарств дорогих мы не употребляем" (с) :)

(23 Апр '14 1:24) falcao

@falcao , не в укор, конечно, но Ваши решения больше подходят подготовленные ученикам. Менее подготовленным , думаю, алгоритмический способ понятнее

(23 Апр '14 1:28) epimkin

Вот как у ASailyan ,например

(23 Апр '14 1:29) epimkin

@epimkin: я с Вами в каком-то смысле согласен, но дело вот в чём. Если кто-то хочет как следует подготовиться и научиться хорошо решать задачи, то следует отказываться от "излюбленных" и "привычных" для себя способов в пользу более "правильных". Именно такая установка, на мой взгляд, полезнее всего. Быть готовым брать новые методы решения "на вооружение", отказываясь от способов "затратных" и прочих.

(23 Апр '14 1:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\big(\frac{4|x+1|}{x^2+8}\big)^{-x+\sqrt{x^2-2}}>1 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}\begin{cases}\frac{4|x+1|}{x^2+8}>1 \\-x+\sqrt{x^2-2}>0 \end{cases}\\\begin{cases}0<\frac{4|x+1|}{x^2+8}<1 \\-x+\sqrt{x^2-2}<0 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

ссылка

отвечен 23 Апр '14 0:49

10|600 символов нужно символов осталось
0
ссылка

отвечен 23 Апр '14 13:10

@epimkin: а почему $%x=\sqrt2$% не вошло в ответ?

(23 Апр '14 13:34) falcao

@falcao , все та же невнимательность

(23 Апр '14 14:05) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×472
×65

задан
23 Апр '14 0:28

показан
2754 раза

обновлен
23 Апр '14 14:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru