Помогите, пожалуйста, решить.

$%2y"-y'-y=x+2+2e^x-e^{-x}$%

задан 23 Апр '14 9:00

изменен 23 Апр '14 23:18

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2
  1. Решаем однородное уравнение $%2y''-y'-y=0$%. Для этого находим корни характеристического многочлена $%2\lambda^2-\lambda-1 $%. Они равны $%1$% и $%-1/2$%. Поэтому общее решение однородного уравнения $%y_0=C_1e^{x}+C_2e^{-x/2}$%.

  2. Находим частные решения для правых частей $%F_1=x+2$%, $%F_2=2e^x$%, $%F_3=-e^{-x}$%. Это можно делать по отдельности.

  3. Для $%F_1=x+2$% Ищем частное решение в виде $%y_1=Ax+B$%. Подставляем в уравнение $%2y''-y'-y=x+2$%.$$-A-Ax-B=x+2,$$ откуда $$\begin{cases}-A=1,\\ -A-B=2,\end{cases}$$ то есть $%A=B=-1$% и $%y_1=-x-1$%.

  4. Для $%F_2=2e^{x}$% Ищем частное решение в виде $%y_2=Axe^{x}$% (умножаем на $%x$%, т.к. $%1$% - корень характеристического уравнения). Подставляем в уравнение $%2y''-y'-y=2e^{x}$%. $$y''_2=A(x+2)e^x,\ y'_2=A(x+1)e^x$$ $$2A(x+2)e^x-A(x+1)e^x-Axe^{x}=2e^{x},$$ откуда $%A=2/3$% и $%y_2=2/3xe^x$%.

  5. Для $%F_3=-e^{-x}$% Ищем частное решение в виде $%y_3=Ae^{-x}$%. Подставляем в уравнение $%2y''-y'-y=-e^{-x}$%. Откуда $$2Ae^{-x}+Ae^{-x}-Ae^{-x}=-e^{-x},$$ и $%A=-1/2$%. То есть $%y_3=-1/2e^{-x}$%.

  6. Пишем ответ: сумма общего решения и всех частных $$y=C_1e^{x}+C_2e^{-x/2}-x-1+2/3xe^x-1/2e^{-x}.$$

ссылка

отвечен 23 Апр '14 9:34

изменен 23 Апр '14 9:36

Да, если у характеристического многочлена два корня, один из которых равен 7.

(23 Апр '14 10:13) cartesius

да,равен)во втором еще тригонометрия идет:cos(x/2)-sin(x/2),первая производная получилась такой:-1/2Asin(x/2)+1/2Bcos(x/2), а вторая -1/4Acos(x/2)+1/4Bsin(x/2),вот это подставить в y"-14y'+49y,получается ерунда какая-то:(48.45A-7B)cos(x/2)+(56A+49.25B)sin(x/2)=cos(x/2)-sin(x/2)

(23 Апр '14 10:31) Lorka

@Lorka: а почему Вы приравняли всё к $%y$% после подстановки? Какое там было уравнение?

(23 Апр '14 12:10) falcao

y"-14y'+49y=cos(x/2)-sin(x/2)

(23 Апр '14 12:15) Lorka

Частное решение ищется в виде $%y=A\cos(x/2)+B\sin(x/2)$%, подставляется, а затем приравнивается к функции в правой части. Тогда надо приравнять коэффициенты при косинусе и при синусе в самом конце. Получится система из двух уравнений, которые позволят найти значения коэффициентов $%A$% и $%B$%.

(24 Апр '14 2:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,952
×1,118
×931

задан
23 Апр '14 9:00

показан
1035 раз

обновлен
24 Апр '14 2:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru