6
1

Пусть $%m$% и $%n$% - целые неотрицательные числа. Решите уравнение $%m^2+2\cdot3^n=m(2^{n+1}-1)$%

задан 23 Апр '14 11:40

изменен 23 Апр '14 23:17

Deleted's gravatar image


126

Если не секрет, откуда эта задача?

(23 Апр '14 18:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
5

Задача весьма трудная -- интересно было бы знать её происхождение.

Рассмотрим квадратное уравнение $%m^2-m(2^{n+1}-1)+2\cdot3^n=0$%. Если один из его корней целый, то и второй также целый, поскольку сумма корней равна $%2^{n+1}-1$% по теореме Виета. Произведение корней равно $%2\cdot3^n$%, а это значит, что корни имеют вид $%2\cdot3^u$% и $%3^v$% для целых неотрицательных $%u$%, $%v$% таких, что $%u+v=n$%. В этом случае имеет место равенство $$2\cdot3^u+3^v+1=2^{u+v+1},$$ и нужно решить это уравнение в целых неотрицательных числах.

Допустим, что $%v=0$%. Тогда $%3^u+1=2^u$%, что невозможно, так как левая часть больше правой. Таким образом, $%v\ge1$%. Предположение $%u=0$% теперь ведёт к $%3^v+3=2^{v+1}$%, где левая часть делится на $%3$%, а правая не делится. Таким образом, $%u\ge1$%.

Ввиду того, что $%2^{u+v+1}-1$% делится на $%3$%, число $%u+v+1$% должно быть чётным, а $%u+v$% нечётным. В частности, $%u\ne v$%.

Лемма. Если $%4^s-1$% делится на $%3^{t+1}$%, для целых неотрицательных чисел $%s$%, $%t$%, то $%s$% делится на $%3^t$%.

Доказательство. Случаи $%t=0$% и $%s=0$% очевидны. Пусть $%s,t\ge1$%. Проводим индукцию по $%t$%. Легко видеть, что если $%s$% не делится на $%3$%, то $%4^s$% не делится на $%9$% (достаточно рассмотреть периодическую последовательность остатков от деления на $%9$% у степеней числа $%4$%: это 1, 4, 7, ... , и далее всё периодически повторяется). Положим $%s=3r$%. Тогда $%4^s-1=(4^r)^3-1=(4^r-1)(4^{2r}+4^r+1)$%. Выражение в скобках имеет вид $%x^2+x+1$%, где $%x$% целое. Легко проверяется, что оно не может делитьcя на $%9$%. Здесь можно перебрать все случаи остатков, а можно заметить, что $%x^2+x+1=(x-4)^2+9x-15$%. Из делимости этого числа на $%9$% следовало бы, что $%x-4$% делится на $%3$%, но тогда его квадрат делится на $%9$%, а слагаемое $%15$% не делится, откуда всё следует.

Таким образом, из того, что $%4^s-1$% делится на $%3^{t+1}$%, следует, что $%4^r-1$% делится на $%3^t$%. По предположению индукции, $%r$% делится на $%3^{t-1}$%, и тогда $%s=3r$% делится на $%3^t$%, что и требовалось доказать.

Далее рассматриваем два случая.

1) $%u > v$%. Число $%2^{u+v+1}-1$% делится на $%3^v$%, и тогда из леммы следует, что $%\frac{u+v+1}2$% делится на $%3^{v-1}$%. Отсюда следует неравенство $%u+v+1\ge2\cdot3^{v-1}$%.

С другой стороны, из уравнения получается $%2^{u+v} > 3^u > 2^{3u/2}$% (мы применили неравенство $%3^2 > 2^3$%). Отсюда $%2u+2v > 3u$%, то есть $%2v > u$%, откуда $%2v\ge u+1$%. Сопоставление с предыдущим неравенством даёт $%3v\ge2\cdot3^{v-1}$%. Ясно, что $%v\le2$%, и с учётом $%2v > u > v$% единственным возможным случаем оказывается $%v=2$%, $%u=3$%. Уравнение при этом принимает вид $%2\cdot3^3+3^2+1=64=2^{3+2+1}$%, то есть является верным равенством.

2) $%v > u$%. Здесь рассуждение аналогично. Из того, что $%2^{u+v+1}-1$% делится на $%3^u$%, из леммы выводим, что $%\frac{u+v+1}2$% делится на $%3^{u-1}$%, откуда $%u+v+1\ge2\cdot3^{u-1}$%. Далее, $%2^{u+v+1} > 3^v > 2^{3v/2}$%, откуда $%2u+2v+2 > 3v$%, то есть $%2u+2 > v$%. В сочетании с предыдущим неравенством, $%3u+2\ge u+v+1\ge3^{u-1}$%. Отсюда легко заключить, что $%u\le3$%. С учётом неравенств $%2u+1\ge v\ge u+1$%, а также нечётности $%u+v$%, получаем такие случаи: $%u=1$%, $%v=2$%; $%u=2$%, $%v\in\{3;5\}$%; $%u=3$%, $%v\in\{4;6\}$%. Первый из этих случаев после подстановки в уравнение даёт ещё одно решение в силу того, что равенство $%2\cdot3^1+3^2+1=16=2^{1+2+1}$% верно. Для остальных случаев легко проверяется, что они не удовлетворяют уравнению.

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 решения. При $%n=5$% подходят $%m=9$% и $%m=54$%, а при $%n=3$% подходят $%m=6$% и $%m=9$%.

ссылка

отвечен 25 Апр '14 11:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×916

задан
23 Апр '14 11:40

показан
807 раз

обновлен
25 Апр '14 11:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru