Здравствуйте. У меня возникли большие трудности с двумя задачами:

  • а) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD стоорона основания равна 4, а высота равна 2. Найдите расстояние от точки B до боковой грани SAD. У меня получилось 4корня из2/корень из 3, а должно было - 2корня из 2. Пересчитала уже сто раз и пришла к выводу, что у меня просто неправильный рисунок. Покажите,пожалуйста, как правильно провести прямую от В к плоскости и как примерно решить задачу.
  • б) Внутри угла величиной 90 градусов выбрана точка, находящаяся от сторон угла на расстояниях 8 и 1. Найдите радиус окружности, проходящей через выбранную точку и касающейся сторон угла. Я выделила треугольник( тот, что является центральным углом в окружности), а дальше - ступор.

Заранее большое спасибо.

задан 23 Апр '14 18:14

изменен 23 Апр '14 23:19

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Там на самом деле получается $%2\sqrt2$%. Решать можно по-разному, но я ничего не строил, а основывался на соображениях объёма. При помощи теоремы Пифагора находим боковую сторону. Расстояние от центра квадрата до вершины равно $%4/\sqrt2=2\sqrt2$%, высота пирамиды равна $%2$%. Поэтому боковая сторона равна $%\sqrt{8+4}=2\sqrt3$%. Далее, из таких же соображений находим апофему, то есть высоту боковой грани. Там возникает треугольник с гипотенузой $%2\sqrt3$% (только что найденной) и катетом $%2$% (половиной длины основания). Отсюда апофема равна $%\sqrt{12-4}=2\sqrt2$%. Это позволяет найти площадь боковой грани: $%S_{бок}=\frac12\cdot4\cdot2\sqrt2=4\sqrt2$%.

Площадь основания равна $%4^2$%, поэтому утроенный объём пирамиды равен $%3V=4^2\cdot2=32$%. Рассмотрим пирамиду $%SABD$%. Её утроенный объём вдвое меньше, и он равен $%16$%. Он же равен произведению площади боковой грани $%SAD$% на длину высоты $%d$%, опущенной из точки $%B$% на плоскость $%SAD$%. Число $%d$% нам как раз и нужно найти -- это расстояние от точки $%B$% до боковой грани $%SAD$%. Таким образом, $%16=S_{бок}d=4\sqrt2d$%, откуда $%d=2\sqrt2$%.

б) Окружностей, которые обладают требуемым свойством, имеется две, поэтому задача имеет два решения. Чтобы представить себе ситуацию, впишем в прямой угол окружность "неопределённого" радиуса. На той четверти окружности, которая расположена ближе всего к вершине прямого угла, есть точка, отношение расстояний от которой до сторон угла равно $%1:8$%. Но точка с таким свойством имеется и на другой дуге -- расположенной по другую сторону от радиуса, соединяющего центр окружности с точкой касания.

Рассмотрим пока первый из случаев, обозначая радиус окружности через $%r$%. Построим прямоугольный треугольник, одной из вершин которого будет $%O$% -- центр окружности, другой вершиной будет точка $%P$% из условия задачи, и при этом $%OP$% будет гипотенузой, а катеты параллельны сторонам угла (по описанию нетрудно сделать рисунок). Теперь замечаем, что $%OP=r$%, $%OC=r-1$%, $%PC=r-8$%, где $%C$% -- вершина прямого угла. Теорема Пифагора приводит к квадратному уравнению $%r^2=(r-1)^2+(r-8)^2$%, корнями которого будут числа $%r=5$% и $%r=13$%. Нашей ситуации отвечает второй случай, так как $%r-8 > 0$%. Нетрудно заметить, что число $%r=5$% соответствует расположению точки $%P$% на второй дуге: здесь вместо расстояния $%r-8$% получается $%8-r$%, а уравнение остаётся таким же.

ссылка

отвечен 23 Апр '14 23:39

Спасибо большое! Вы очень хорошо объясняете. Единственное, во второй задаче я немного не поняла, почему OC=r−1, PC=r−8? Рисунку это соответствует, но как это доказать?

(25 Апр '14 18:32) tototo

@tototo: это очевидно из тех соображений, что там все углы прямые. Можно провести вспомогательные перпендикуляры, и тогда всё станет ясно. У прямоугольников противоположные стороны равны, поэтому расстояния получатся именно такие.

(25 Апр '14 18:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,718
×302

задан
23 Апр '14 18:14

показан
903 раза

обновлен
25 Апр '14 18:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru