Числа $%1,2,3,...,50$% каким-то образом разбили на $%10$% пятерок и в каждой пятерке взяли среднее по величине число. Какова наибольшая и наименьшая суммы этих чисел?

задан 23 Апр '14 18:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если $%a < b < c$% -- первые три числа в пятёрке, то справедливы неравенства $%a\le c-2$%, $%b\le c-1$%, откуда $%a+b+c\le3c-3$%. Это означает, что среднее по величине число в пятёрке не меньше, чем среднее арифметическое трёх первых по величине чисел, увеличенное на единицу: $%c\ge\frac{a+b+c}3+1$%.

Суммируя по всем десяти тройкам, получаем, что сумма всех десяти средних по величине чисел не меньше, чем $%\frac13(1+2+\cdots+30)+10=165$%. Здесь учтено то, что числа в пятёрках не повторяются, и сумма тридцати из них не меньше, чем сумма первых 30 натуральных чисел.

Пример с такой суммой строится так: берём в пятёрки числа 1, 2, 3, затем 4, 5, 6, и так далее, вплоть до 28, 29, 30. Оставшиеся 20 чисел распределяем между пятёрками произвольно. Тогда средними по величине будут числа 3, 6, ..., 30, и их сумма равна $%165$%.

Задача с нахождением наибольшего значения решается аналогично. Но можно сразу назвать, что получится, если учесть симметрию. Заменяя число $%x$% на $%51-x$%, мы меняем порядок следования чисел. Средние по величине числа остаются на прежнем месте. Поэтому вместо суммы десяти чисел, равной $%165$%, мы получим сумму десяти чисел, равную $%51\cdot10-165=345$%, и это будет наибольшее значение суммы.

ссылка

отвечен 23 Апр '14 19:29

изменен 23 Апр '14 19:50

@falcao: А как получилось вот это: c≥(a+b+c)/3+1? Просто из неравенства a+b+c≤3c−1 следует c>=(a+b+c+1)/3.

(23 Апр '14 19:38) student

Напечатал и понял, кажется - это Вы до целого числа перешли?

(23 Апр '14 19:38) student
1

@student: Вы правы, но я просто опечатался в предыдущем неравенстве. Там должно было быть $%a+b+c\le3c-3$%, исходя из сказанного перед этим. То есть вывод про среднее арифметическое верен.

Сейчас подправлю формулу.

(23 Апр '14 19:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×515
×56

задан
23 Апр '14 18:34

показан
1998 раз

обновлен
23 Апр '14 19:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru