Точки P, Q, R расположены соответственно на сторонах AB, BC и CA треугольника АВС площади S так, что

$$AP=\frac{AB}{3} $$$$ BQ=\frac{BC}{3}$$ $$CR=\frac{CA}{3}$$

Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми AQ, BR, CP.

задан 24 Апр '14 0:34

изменен 24 Апр '14 22:43

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Есть много стандартных способов для решения такого рода задач. Например, можно свести всё к случаю равностороннего треугольника, потому что любой треугольник может быть на него спроектирован, а при проекции отношение площадей не меняется. Для правильного треугольника возможно прямое вычисление.

Можно также решать эти задачи с использованием векторов или координатного метода. Но самый подходящий способ, на мой взгляд, таков. Надо начать вычисления отношений, в которых делятся отрезки $%AQ$%, $%BR$%, $%CP$% во взаимных точках пересечения. При этом можно применять готовые формулы, которые приводятся во многих книгах по геометрии (см. такие темы как теоремы Чевы, Менелая, ван Обеля и др.). Если не применять этих результатов, то можно делать дополнительные построения, проводя через точки пересечения прямые, параллельные сторонам, и далее использовать подобие возникающих при этом треугольников, приравнивая отношения длин соответственных сторон.

Если обозначить треугольник, площадь которого надо найти, через $%A_1B_1C_1$%, где точки с нижними индексами обозначают "ближайшие" к соответствующим вершинам точки, то отношения получаются следующие: $%AA_1:A_1B_1:B_1Q=3:3:1$%. Аналогично для остальных отрезков. Теперь, зная эти отношения, переходим от одного треугольника к другому, и следим за тем, на какой коэффициент умножается площадь. Так, переходя от $%A_1B_1C_1$% к $%AB_1C_1$%, затем к $%ABR$%, и в конце к $%ABC$%, мы видим, что площадь умножается на $%2$%, затем на $%\frac73$%, и далее на $%\frac32$%. Это значит, что в итоге площадь умножилась на $%7$%, то есть в ответе будет $%S/7$%.

ссылка

отвечен 24 Апр '14 1:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×760

задан
24 Апр '14 0:34

показан
1549 раз

обновлен
24 Апр '14 1:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru