|
Каждая сторона выпуклого четырехугольника разбита двумя точками в отношении 1:√2:1. Через две соседние с каждой вершиной точки проводится прямая. Докажите, что площадь четырехугольника, образуемого этими прямыми, равна площади исходного четырехугольника. задан 24 Апр '14 0:41 
almonax |
|
Построенный четырёхугольник является параллелограммом, у которого угол между сторонами такой же, какой он был у исходного 4-угольника между диагоналями. Рассматривая подобные треугольники, легко заметить, что отношение стороны параллелограмма к параллельной ей диагонали исходного 4-угольника равно $%\frac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}$%. Находя площадь параллелограмма как произведение сторон на синус угла между ними, мы получим, что она равна половине (за счёт двух множителей, равных $%\frac1{\sqrt2}$%) произведения диагоналей на синус того же угла, а это не что иное как площадь изначального 4-угольника. отвечен 24 Апр '14 1:29 
falcao |