Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказа- лась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов ?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

задан 24 Апр '14 16:46

изменен 24 Апр '14 22:31

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Подходит пример 1, 2, 3. В этом случае $%s_1=(1+2+3)^2-1^2-2^2-3^2=22$%. Если добавить ещё один член, то получится $%s_2=(1+2+3+4)^2-1^2-2^2-3^2-4^2=70$%. При этом $%s_2-s_1=48$%.

б) Исследуем вопрос в общем виде. Пусть $%s_1=(x_1+\cdots+x_n)^2-(x_1^2+\cdots+x_n^2)$%. С добавлением нового члена получается, что $%s_2=(x_1+\cdots+x_n+x_{n+1})^2-(x_1^2+\cdots+x_n^2+x_{n+1}^2)$%. Тогда $%s_2-s_1=(x_1+\cdots+x_n+x_{n+1})^2-(x_1+\cdots+x_n)^2-x_{n+1}^2$%, что с учётом формулы для разности квадратов равно $%x_{n+1}(2x_1+\cdots+2x_n+x_{n+1}^2)-x_{n+1}^2=2x_{n+1}(x_1+\cdots+x_n)$%.

Применим известные формулы, согласно которым $%x_{n+1}=x_1+nd$%, где $%d$% -- разность арифметической прогрессии, а также $%x_1+\cdots+x_n=n\cdot\frac{x_1+x_n}2=nx_1+\frac{n(n-1)}2d$%.

Для числа $%1440$%, с учётом множителя $%2$% в выведенной выше формуле, получаем уравнение $$(x_1+nd)(nx_1+\frac{n(n-1)}2d)=720.$$ Легко видеть, что $%n\ne12$%, так как $%x_1\ge0$%, $%d\ge1$%, и тогда произведение не меньше, чем $%n\cdot\frac{n(n-1)}2 > \frac{12\cdot12\cdot10}2=720$%.

в) Из предыдущего пункта ясно, что $%n < 12$%. Значение $%n=11$% не подходит, так как левая часть уравнения делится на $%11$%, а правая не делится. Проверим случай $%n=10$%. Здесь после сокращения на $%5$% получается $%(x_1+10d)(2x_1+9d)=144$%. Понятно, что $%d=1$%, что приводит к квадратному уравнению $%(x_1+10)(2x_1+9)=144$%, не имеющему целочисленных решений.

Случай $%n=9$% после сокращения на $%9$% даёт $%(x_1+9d)(x_1+4d)=80$%. Отсутствие целочисленных решений проще всего усмотреть так. Один из сомножителей должен делиться на $%5$%, поскольку $%80$% кратно пяти. Но тогда второй сомножитель тоже делится на $%5$% ввиду того, что разность кратна пяти. Однако число в правой части не делится на $%25$%, и так быть не может.

Для $%n=8$% уравнение после сокращения на $%4$% принимает вид $%(x_1+8d)(2x_1+7d)=180$%. Здесь уже решение легко найти подбором: подходит $%d=1$%, $%x_1=4$%. Прогрессия 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 из восьми членов удовлетворяет условиям задачи, и это количество членов является наибольшим.

ссылка

отвечен 24 Апр '14 20:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%S_n=a_1+\ldots+a_n$% - сумма первых $%n$% членов прогрессии, $%T_n=a_1^2+\ldots+a_n^2$% - сумма квадратов первых $%n$% членов прогрессии. Ясно, что $%S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$% и $%T_{n+1}=T_n+a_{n+1}^2$%. По условию найдено число $$(S_{n+1}^2-T_{n+1})-(S_n^2-T_n)=(S_n+a_{n+1})^2-T_n-a_{n+1}^2-S_n^2+T_n=$$ $$S_n^2+2S_na_{n+1}+a_{n+1}^2-a_{n+1}^2-S_n^2=2S_na_{n+1}.$$ Если разность прогрессии равна $%d$%, то $%a_{n+1}=dn+a_1$% и $%S_n=n(2a_1+d(n-1))/2$%, и $$2S_na_{n+1}=n(2a_1+d(n-1))(a_1+dn).$$

а) Т.к. $%48=4^2\cdot 3$%, то если в последней формуле принять $%a_1=0$%, то получим $$n^2d^2(n-1),$$ что равно $%48$% при $%n=4$% и $%d=1$%. Откуда ответ: $%0,1,2,3$%.

б) Пусть $%n=12$%, тогда $$12(2a_1+11d)(a_1+12d)=1440.$$ Из условия следует, что $%a_1\geqslant 0$%, $%d\geqslant 1$%, поэтому $$(2a_1+11d)(a_1+12d)\geqslant 11\cdot 12=132>1440/12=120,$$ поэтому $%n\neq 12$%. В прогрессии не может быть 12 членов.

в) $%1440=2^5\cdot 3^2\cdot 5$%. Пусть $$n(2a_1+d(n-1))(a_1+dn)=1440,$$ тогда $%n$% должно делить $%1440$%. Кроме того, из пункта б) следует, что $%n<12$%. Наибольший делитель $%1440$%, меньший 12 - это 10. Пусть $%n=10$%, тогда $$(2a_1+9d)(a_1+10d)=144.$$ Но тогда либо $%d$% либо $%a_1$% четно. Причем $%a_1\neq 0$%, т.к. $%90d^2=144$% не имеет целых корней. Если $%d\geqslant 2$% или $%a\geqslant 2$%, то левая часть будет больше $%144$%. Поэтому $%n\neq 10$%.

Пусть $%n=9$%, тогда $$(a_1+4d)(a_1+9d)=80.$$ Если $%a_1\geqslant 3$%, то $$(a_1+4d)(a_1+9d)\geqslant 7\cdot 12 >80,$$ поэтому вариантов 3: $%a_1=0,1,2$%. Простой проверкой убеждаемся, что в этих случаях корни уравнения $$(a_1+4d)(a_1+9d)=80$$ не целые. Поэтому $%n\neq 9$%.

Пусть $%n=8$%, тогда $%(2a_1+7d)(a_1+8d)=180$%. Что возможно при $%a_1=4$% и $%d=1$%. Ответ: $%n=8$%.

ссылка

отвечен 24 Апр '14 20:17

изменен 24 Апр '14 21:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×309
×94

задан
24 Апр '14 16:46

показан
7128 раз

обновлен
24 Апр '14 21:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru