Известны числа последовательности для n

$$n=2: 4/7, 3/7;$$

$$n=3: 25/61, 20/61, 16/61;$$

$$n=4: 216/671, 180/671, 150/671, 125/671;$$

$$n=5: 343/1279, 294/1279, 252/1279, 210/1279, 180/1279;$$

$$n=6: 2048/8957, 1792/8957, 1568/8957, 1344/8957, 1176/8957, 1029/8957;$$

$$n=7: 52488/260753, 46656/260753, 40824/260753, 35721/260753,$$ $$31752/260753, 28224/260753, 25088/260753;$$

Нужно задать формулу для получения n. Должны вроде бы фигурировать факториалы... Также стоит отметить, что отношение некоторого члена последовательности к следующему за ним для $%n=2: 4/3; n=3: 5/4, n=4: 6/5$% и т.д.

задан 25 Апр '14 19:56

закрыт 25 Ноя '14 0:44

А какая есть информация о происхождении этих чисел? Здесь кое-какие закономерности просматриваются, но они пока не достаточны. Для числителей первых дробей в каждой из групп получается $%2^2=4^1$%, $%5^2$%, $%6^3$%, $%7^3$%, $%2^{11}$%, а далее начинается что-то не очень понятное. Отношения соседних дробей в каждой из групп тоже не постоянны. Скажем, в последней группе идёт 10/9 два раза, потом 9/8 четырежды, потом снова 10/9. Боюсь, что без дополнительной информации трудно будет что-то сказать. Со знаменателями вообще пока непонятно.

(25 Апр '14 20:21) falcao

Может быть, имеет смысл сформулировать саму вероятностную задачу, а потом просто посчитать? Со знаменателями теперь всё ясно: это суммы числителей.

(25 Апр '14 20:48) falcao

Если бы отношения соседних членов для каждой группы были одинаковы, как это написано в конце, то вывести общие формулы довольно просто. Для первых трёх групп это так, но для следующей на 3-м месте "вклинивается" 6/5 вместо 7/6. Для следующей группы то же самое (со сдвигом на 1), а при n=7 отношения такие: 9/8, 8/7, 8/7, 9/8, 9/8, 9/8. Это так и должно быть?

(25 Апр '14 21:04) falcao

А если бы отношения сохранялись? как бы можно было вывести общую формулу?

(25 Апр '14 21:09) stander

Если отношения для n-й группы равны $%(n+2)/(n+1)$%, чисел в группе имеется $%n$%, и их сумма равна единице, то формулы выписать очень просто. Там суммируются числа геометрической прогрессии, только и всего. Могу их выписать, если нужно.

(25 Апр '14 21:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Слишком спорно". Закрывший - stander 25 Ноя '14 0:44

1

Если считать, что чисел в $%n$%-й группе имеется $%n$%, сумма чисел равна единице, и каждое следующее получается из предыдущего умножением на $%a=\frac{n+1}{n+2}$%, то числа равны $%x$%, $%ax$%, $%a^2x$%, ... , $%a^{n-1}x$%, где первое число находится из уравнения $%x(1+a+\cdots+a^{n-1})=1$%. Суммируя геометрическую прогрессию и беря обратное число, получаем $%x=\frac{1-a}{1-a^n}$%. Таким образом, $$x=\frac{1-\frac{n+1}{n+2}}{1-(\frac{n+1}{n+2})^n}=\frac{(n+2)^{n-1}}{(n+2)^n-(n+1)^n}.$$ Получаются следующие $%n$% чисел: $$\frac{(n+2)^{n-1}}{(n+2)^n-(n+1)^n}, \frac{(n+2)^{n-2}(n+1)}{(n+2)^n-(n+1)^n}, \frac{(n+2)^{n-3}(n+1)^2}{(n+2)^n-(n+1)^n}, \ldots, \frac{(n+1)^{n-1}}{(n+2)^n-(n+1)^n}.$$

ссылка

отвечен 25 Апр '14 21:29

@falcao Я узнала о формулировке игры. Если n=2, то 2 игрока играют 2 пальцами. Они на счет 3 выбрасывают либо 1, либо 2 пальца. При этом они предсказывают сколько пальцев покажет соперник. Если один из них угадал, а другой нет, то он выигрывает сумму выброшенных пальцев. Если оба угадали, или никто, то никто не выигрывает ничего и не проигрывает. Если n=3 то играют 3 пальцами. n=4, то 4 пальца выбрасывают максимум и т.д Приведенные числа - правильные стратегии. То есть если для n=2 была: 3/7 и 4/7. Это значит, что с вероятностью 3 раза из 7 нужно предсказывать, что соперник выбросил 1 палец

(26 Апр '14 19:42) stander

@stander: теперь многое прояснилось, но пока ещё не до конца. Какова при этом стратегия предсказывания, Вы сказали. Но сколько при этом пальцев предписано выбрасывать? Насколько я понимаю, это тоже есть часть игры, то есть часть стратегии.

В таком виде довольно трудно поверить в то, что в игре возникают "нерегулярности", хотя всякое может быть.

(26 Апр '14 21:06) falcao

@stander: мне кажется, здесь какой-то информации всё ещё не хватает. Ясно, что всё происходит "вероятностно", и этого никак не избежать. Но сами вероятностные распределения задаются однозначно. Стратегия, в моём понимании, должна быть такой: с какой вероятностью я показываю 1 или 2 пальца (это при n=2), и с какой вероятностью я предсказываю 1 или 2 пальца у противника. Эти события должны быть связаны между собой, так как без них нельзя подсчитать матожидание выигрыша.

(28 Апр '14 19:23) falcao

@stander: там по ссылке содержится только информация общего плана. Дело в том, что указанные в условии числа кто-то подсчитал, исходя из определённых соображений. У них также должен быть некий "физический смысл". У меня есть ощущение, что части информации по-прежнему не хватает, хотя очень многое удалось прояснить по сравнению с тем, что было в самом начале. Замечу также, что в описании по ссылке игроки сразу называют сумму, пытаясь её угадать, а это не совсем то, что было выше.

(28 Апр '14 19:52) falcao

@falcao: http://math-portal.ru/1733-vvedenie-v-teoriyu-igr-mak-kinsi-dzh.html - в этой книге на странице 19 есть информация, на основе которой (и еще несколько стр. после неё), на мой взгляд, можно было бы провести расчёт для n=3 и т.д.(Прошу прощения за назойливость в отношении этой задачи.)

(28 Апр '14 22:27) stander

@stander: ссылка полезная, и она позволяет, вероятнее всего, сделать расчёт для n=2. Но что при этом получится? Я пока не успел проанализировать, но там сама "модель" берётся более сложная. То есть возникает 4 случая, а не 2. Не исключено, что какие-то два из них можно отбросить как заведомо "невыгодные", и останется два с указанными ранее вероятностями 4/7 и 3/7. Что будет при других значениях n, должно стать ясно после этого анализа. Так или иначе, наличие "нерегулярностей" (понятно, в каком смысле) было бы весьма удивительным. А задача сама по себе интересная. Я не против над ней подумать.

(28 Апр '14 23:27) falcao

@falcao: Я имела в виду, что в упражнениях в конце данного параграфа(стр.32, №17) дается задача рассчитать матрицу для трехпальцевой игры. Маловероятно, что имеющаяся информация будет недостаточной для решения при n=3(иначе бы автор не поставил перед читателем такую задачу).

(29 Апр '14 12:43) stander
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915
×355

задан
25 Апр '14 19:56

показан
809 раз

обновлен
25 Ноя '14 0:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru