На клетках шахматной доски размера 100×100 написаны числа 1, 2, 3, 4, так что в любом квадрате 2×2 в клетках написаны разные числа. Чему равна сумма чисел в угловых клетках доски?

задан 26 Апр '14 13:41

10|600 символов нужно символов осталось
3

Докажем индукцией по $%n$%, что для квадрата $%2n\times 2n$% в углах квадрата будут разные числа. Для $%n=1$% это очевидно из условия задачи. Пусть это верно для $%n=k$% и покажем, что это верно для $%n=k+1$%.

Пусть в квадрате $%2k\times 2k$% в левой нижней позиции стоит $%u$%, в правой верхней - $%v$%. По предположению $%u\neq v$%.

Добавим к квадрату $%2k\times 2k$% по одному ряду с каждой стороны, дополнив его до квадрата$%2(k+1)\times 2(k+1)$%, в котором выполнены те же правила. Ясно, что числа в углах, смежные одной стороне должны быть разными, поскольку в любой полосе ширины 2 на четных(нечетных) "поперечных линиях" стоят одни и те же числа (возможно, в разном порядке).

То есть если в левом верхнем угле записано $%a$%, в правом верхнем - $%x$%, в левом нижнем - $%y$%, то $%a\neq x, a\neq y$%. Надо лишь показать, что $%x\neq y$%. Обозначим левый нижний квадрат $%2\times 2$% через $%A$%, а правый верхний - через $%B$%. Пусть $%x=y$%, тогда в правом нижнем угле квадрата $%A$% и правом нижнем угле квадрата $%B$% стоят одинаковые числа (это число в правом нижнем угле "большого квадрата"). Аналогично получаем, что в левом верхнем угле квадрата $%A$% и левом верхнем угле квадрата $%B$% стоят одинаковые числа (это число в левом верхнем угле). Но тогда $%\{x,v\}=\{y,u\}$%. Мы предположили, что $%x=y$%, тогда $%u=v$%, но это не так. Полученное противоречие доказывает, что в противоположных углах должны стоять разные числа. Это верно для обеих диагоналей квадрата. Но тогда в углах квадрата стоят разные числа. Таким образом по индукции мы доказали, что для каждого квадрата со стороной четной длины в углах стоят разные числа. В частности, это верно и для $%2n=100$%. Ответ: $%1+2+3+4=10.$%

ссылка

отвечен 26 Апр '14 14:44

изменен 26 Апр '14 14:52

@Annа: уже по прочтении Вашего решения возникла такая мысль. Можно доказывать более общее утверждение -- для угловых клеток прямоугольника с чётными сторонами. Сначала индукцией доказываем это про $%2\times(2n)$%, а затем распространяем на $%(2m)\times(2n)$%.

(26 Апр '14 20:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×545

задан
26 Апр '14 13:41

показан
651 раз

обновлен
26 Апр '14 20:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru