Функция фи от(x) выпукла и дифференцируема на множетсве X. Будет ли выпукла на X функция e^(фи от(x)) ?

Нужно это проверить и доказать через вторые производные. Но я не понимаю как.

задан 27 Апр '14 15:57

@ekaterina1: как раз то, что наука "точная", означает, что надо исходить из точных определений. На самом деле, есть много определений выпуклости -- в том числе для недифференцируемых функций.

Про связь вторых производных функции $%f(x)$% и $%e^{f(x)}$% (последнее у меня обозначено через $%g(x)$%) было написано в 4-й и 5-й строках сверху.

(29 Апр '14 23:41) falcao

По поводу последнего вопроса: поймите простую вещь, что если "право" и "лево" поменять местами, то ответы могут поменяться. То, что Вам сказали на другом форуме -- это верно, если "выпуклостью" называть выпуклость в другую сторону. Это ровно то, что я отметил в начале (строки 4 и 5). Но это толкование менее стандартно. Если на поверхности стола есть "выпуклость" в обычном смысле, то это ведь выпуклость именно вверх? А другая ситуация называется вогнутостью.

(29 Апр '14 23:44) falcao

@ekaterina1: да, конечно. Но брать за основу надо то определение выпуклости, которое даётся в изучаемом курсе.

Тот факт, что их $%f''(x) > 0$% следует $%g''(x) > 0$%, достаточно очевиден, и был мной отмечен в начале. А построение контрпримера, показывающего, что из $%f''(x) < 0$% в общем случае не следует неравенство $%g''(x) < 0$% -- это, на мой взгляд, более интересная задача.

(30 Апр '14 0:15) falcao

Всё, поняла. Спасибо. Просто всё из-за этих формулировок...

(30 Апр '14 0:26) ekaterina1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Выпуклость соответствует отрицательности производной (с учётом кое-каких тонкостей, которые в данном случае не нужны). Если известно, что $%f''(x) < 0$%, то рассмотрим вторую производную функции $%g(x)=e^{f(x)}$%. Первая производная равна $%g'(x)=e^{f(x)}f'(x)$%, и далее $%g''(x)=e^{f(x)}((f'(x))^2+f''(x))$%. Если бы речь шла о положительности, то мы бы могли сразу утверждать, что вторая производная положительна, то есть функция вогнута (выпукла вниз). Но в другую сторону это соображение уже не работает, поэтому строим контрпример.

Если взять $%f(x)=-x^2$%, то $%f''(x)=-2$%, и функция выпукла. Для функции $%g(x)=e^{-x^2}$% (тип гауссовой кривой) выпуклости уже в общем случае не будет, так как вторая производная равна $%g''(x)=e^{-x^2}(4x^2-2)$%. В окрестности нуля функция $%g(x)$% будет выпуклой, но если взять $%X=(1;+\infty)$%, то на этом множестве $%f(x)=-x^2$% будет выпуклой, а $%g(x)=e^{-x^2}$% вогнутой. То есть ответом на вопрос задачи будет "нет, не всегда".

ссылка

отвечен 27 Апр '14 16:10

Да, я имел в виду именно это. Могла быть поставлена аналогичная задача с заменой слова "выпуклая" на слово "вогнутая". В этом случае ответ был бы положительным. Это просто замечание по ходу дела. Для решения поставленной в условии задачи оно не нужно.

(27 Апр '14 16:53) falcao

@ekaterina1: Вам не кажется, что слова "ерунда" и "бред" -- это хамство? Здесь на форуме не принято так разговаривать -- это не подворотня! "Вы написала ... ерунду" -- Ваши слова. Интересно, кто её написал? :) А "пишите" -- это повелительное наклонение глагола "писать", а не второе лицо.

Теперь по существу: посмотрите определения здесь. Это наиболее стандартные определения выпуклости. График лежит ниже касательной; это соответствует отрицательной производной. Ответ был дан правильный: не всегда (в общем случае, нет).

(29 Апр '14 22:24) falcao

Нет, мне не кажется. И придираться к опечаткам не нужно. Да, я это читала. И другие источники я тоже читала. Но Вы почему-то ничего не написали в данный момент про: "Во-первых, выпуклость, т.е. выпуклость вниз соответствует неотрицательности производной. Во-вторых, Вы пишите "функция вогнута(выпукла вниз)", если она вогнута, это значит, что она выпукла вверх". Ответьте пожалуйста. И еще, мне ответили на другом форуме так: "Если f(x) имеет вторую производную, то её выпуклость эквивалентна неотрицательности этой второй производной. Производная от e^f(x)>=0 Значит e^f(x) тоже выпукла." Что верно?

(29 Апр '14 22:38) ekaterina1

@ekaterina1: если у Вас возникают какие-то сомнения, то почему не обсудить это спокойно, не переходя на "некорректные" выражения?

Я написал, что в моём понимании выпуклость -- это выпуклость вверх, что соответствует отрицательной производной. Нас так учили в школе. В определениях бывают разночтения. Если кто-то хочет взять за основу другое определение, то его надо приводить в тексте. Я Вам дал ссылку на то же определение, что у меня. $%y=x^2$% считается выпуклой вниз (вогнутой); $%y=-x^2$% выпуклой вверх (просто выпуклой).

(29 Апр '14 22:53) falcao

(продолжение) Про то, что из $%f''(x) > 0$% следует $%(e^{f(x)})'' > 0$%, у меня сказано в тексте. То есть это верно. Но в тех терминах, которые я использую (и которые более стандартны), это значит, что из вогнутости $%f(x)$% следует вогнутость $%e^{f(x)}$%. Ввиду того, что с разночтениями приходилось встречаться, я сделал оговорку в тексте, что в моём понимании "вогнутость" -- это выпуклость вниз.

(29 Апр '14 22:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×654
×53

задан
27 Апр '14 15:57

показан
825 раз

обновлен
30 Апр '14 0:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru