В окружности радиуса 20 проведена хорда АВ длины 32. Точки С и D лежат на хорде АВ так, что АС/ВС=1/3,AD/BD=3/5. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и проходящей через точки C и D.

задан 27 Апр '14 18:44

изменен 28 Апр '14 23:49

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если сделать рисунок, то станет понятно, что таких окружностей должно быть две, то есть задача имеет два решения.

Обозначим радиус окружности через $%r$%. Тогда расстояние между центрами окружностей равно $%20-r$%, поскольку они касаются. Через $%O$% обозначаем центр окружности радиуса 20, а через $%O'$% -- центр "неизвестной" окружности.

Расстояние от $%O$% до хорды $%AB$% равно $%12$%, что следует из теоремы Пифагора. Точка $%O'$% лежит на серединном перпендикуляре к $%CD$%, и из подсчёта длин отрезков понятно, что $%AC=8$%, $%AD=12$%, то есть $%CD=4$%. Расстояние от $%O$% до серединного перпендикуляра равно $%6$%.

Из теоремы Пифагора ясно, что расстояние от $%O'$% до хорды $%AB$% равно $%\sqrt{r^2-4}$% (число $%4$% здесь является квадратом половины отрезка $%CD$%). Расстояние $%OO'$% равно $%20-r$%, и это гипотенуза прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен $%6$% (расстояние от $%O$% до серединного перпендикуляра), и поэтому второй катет равен $%\sqrt{(20-r)^2-36}$%. Это длина проекции отрезка $%OO'$% на серединный перпендикуляр. Сравнивая расстояния от $%O$% и $%O'$% до хорды $%AB$%, с учётом того, что $%O'$% может располагаться по обе стороны от хорды, приходим к такому уравнению: $%\sqrt{r^2-4}=\sqrt{(20-r)^2-36}\pm12$%.

Перенося $%\pm12$% в другую часть и возводя в квадрат, имеем $%r^2-4\pm24\sqrt{r^2-4}+144=r^2-40r+364$%, что после упрощений превращается в $%\pm3\sqrt{r^2-4}=28-5r$%. После очередного возведения в квадрат получится $%9(r^2-4)=25r^2-280r+784$%, откуда после сокращения на $%4$% имеем $%4r^2-70r+205=0$%. Это квадратное уравнение имеет два положительных корня $%\frac{35\pm9\sqrt5}4$%. Оба значения подходят.

ссылка

отвечен 27 Апр '14 21:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025
×258

задан
27 Апр '14 18:44

показан
1345 раз

обновлен
27 Апр '14 21:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru