Здравствуйте!

Скажите, пожалуйста, как решить:
$$9^{1-(x-1)^2}-12*3^{-(x-1)^2}+1=0$$ Заменой я дошёл до частично правильного решения, но при отборе корней что-то не то.

задан 27 Апр '14 21:21

изменен 28 Апр '14 23:50

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Делаем замену $%y=3^{-(x-1)^2}$%. Легко видеть, что $%0 < y\le1$%. Уравнение принимает вид $%9y^2-12y+1=0$%. Корни: $%y=\frac{2\pm\sqrt3}3$%. Один из корней больше единицы, его не учитываем. Для другого корня имеем $%3^{-(x-1)^2}=\frac{2-\sqrt3}3$%. Для удобства перейдём к обратным величинам: $%3^{(x-1)^2}=\frac3{2-\sqrt3}=3(2+\sqrt3)$%. Логарифмируем: $%(x-1)^2=\log_3(2+\sqrt3)+1$%. Ответ: $%x=1\pm\sqrt{\log_3(2+\sqrt3)+1}$%.

ссылка

отвечен 27 Апр '14 21:38

@falcao, Офигеть как Вы быстро решили.
До момента перехода к обратным величинам у меня всё тоже самое. Мне непонятно, как был совершён переход: $$\frac3{2-\sqrt3}=3(2+\sqrt3)$$

(27 Апр '14 21:53) ВладиславМСК

Я просто сел за компьютер и сразу увидел условие. Но вообще-то я всё делаю ужасно медленно -- особенно это касается набора текста.

Здесь был использован такой приём как "домножение на сопряжённое". Это позволяет упрощать выражения с иррациональностью в знаменателе. Домножьте числитель и знаменатель на $%2+\sqrt3$%. Тогда с числителем всё ясно, а знаменатель равен $%(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=2^2-\sqrt3^2=4-3=1$%, то есть это выражение исчезает.

(27 Апр '14 22:05) falcao

@falcao, про скорость решения это был не сарказм, а реальное уважение к Вам. Всё стало ясно, спасибо!!!

(27 Апр '14 22:11) ВладиславМСК
2

Не знаю, что @falcao умеет делать лучше: решать или объяснять. Всё у него получается замечательно. И всё-таки ценнее, на мой взгляд, умение объяснять. Всё просто. Иной раз удивительно просто. А широта взгляда! А эрудиция! Талант, который служит нам на радость! Спасибо!

(28 Апр '14 8:32) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×890
×249

задан
27 Апр '14 21:21

показан
569 раз

обновлен
28 Апр '14 8:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru