Здравствуйте!

Как решить: $$log_{sin(-x)}{sin(x/2) + sin(3x/2)}=1$$ До какой либо формы решения я не дошёл.

Спасибо.

задан 27 Апр '14 21:24

изменен 28 Апр '14 23:52

Deleted's gravatar image


126

Это довольно сложная задача, как мне показалось. Решение я скоро допишу. Интересно, где она предлагалась?

(28 Апр '14 0:11) falcao

@falcao, В одном известном мне и вам ВУЗе. Задача вступительных экзаменов. Факултет: м/м, 76 год, задача №1(т.е. самая лёгкая).

(28 Апр '14 16:16) ВладиславМСК

О, так это даже времена "мои"! Странно, что задача мне не знакома: я поступал в 1979 году, и задачи предыдущих лет прорешивал. Для первой задачи выглядит как-то слишком сложно: обычно первые три задачи были для "устного" решения. А вот задачи 4 и 5 были посложнее. Эта, на мой взгляд, "тянет" скорее на номер 4.

Решать её, как я сейчас понимаю, лучше всего графически. На отрезке длиной в период (надо брать $%4\pi$%) легко рисуются три графика. Далее на каждом промежутке смотрим на их значения. Но это стало ясно только "задним числом". Я сначала думал, что тут "экстремальные" значения возникают.

(28 Апр '14 16:25) falcao

@falcao, Информацию по задаче я предоставил Вам из книжки, возможно авторы ошиблись с её номером. Я лично не люблю задачи м/м - они всегда сложные или занудные для меня. В этом плане почвоведение рулит :). Забыл. Ещё на ф/ф классные задачи. Я с такими бы задачами поступил.

(28 Апр '14 16:32) ВладиславМСК

@falcao , задача оттуда, но условие записано неверно, там скобочки стоят, они обрамляют синусы

(28 Апр '14 17:24) epimkin

@epimkin: Вы имеете в виду, что там должен быть логарифм суммы синусов? В таком случае задача получается достаточно стандартная. Но тогда оказывается, что результатом опечатки явилась очень интересная задача, которая решается совсем не тем способом, которого первоначально ожидаешь.

(28 Апр '14 17:47) falcao

@falcao , да , там логарифм суммы синусов( у меня есть книжка со всеми вариантами экзаменов в МГУ , начиная с 70 года, там я посмотрел. А хорошие и нестандартные вещи часто получается в результате ошибок. Так и здесь

(28 Апр '14 18:18) epimkin

@ВладиславМСК: как заметил @epimkin, во вступительной задаче имелся в виду логарифм суммы синусов. В таком виде задача делается простой: где-то уровня нынешнего задания C1 для ЕГЭ. Думаю, Вы сами легко решите такой вариант, переписав сумму синусов как удвоенное произведение. Интересно, что ответ совпадёт с тем, который был здесь -- за счёт того, что второе слагаемое обращается в ноль, и тогда не играет роли, где оно написано. А в "искажённом" виде получилась весьма интересная и нетривиальная задача.

(28 Апр '14 18:45) falcao

@falcao, пользователь @epimkin прав, я неверно записал в тетради и из тетради написал сюда. Сейчас перепроверил, в книжке записано как говорит @epimkin.

(1 Май '14 17:01) ВладиславМСК
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

Сделаем замену $%x=-2t$%, после чего уравнение примет вид $$\log_{\sin2t}(-\sin t)=1+\sin3t.$$ Учтём ОДЗ: $%\sin2t > 0$%, $%\sin2t\ne1$%, $%\sin t < 0$%. При этом $%\cos t < 0$%, то есть речь об углах третьей координатной четверти. Достаточно решить уравнение для точек единичной окружности, то есть считать, что $%t\in(\pi;\frac{3\pi}2)$%, а затем учесть $%2\pi$%-периодичность.

Мы пока ещё не учли условие $%\sin2t\ne1$%. Число $%2t$% принадлежит интервалу $%(2\pi;3\pi)$%, и синус на нём принимает значение $%1$% в точке $%2t=2\pi+\frac{\pi}2$%, откуда $%t\ne\frac{5\pi}4$%. Получается, что $%t\in(\pi;\frac{5\pi}4)\cup(\frac{5\pi}4;\frac{3\pi}2)$%.

Упростим уравнение, заметив, что $%-\sin t=\frac{\sin2t}{-2\cos t}$%. Поэтому левая часть принимает вид $%1-\log_{\sin2t}(-2\cos t)$%, после чего мы имеем уравнение $%\log_{\sin2t}(-2\cos t)+\sin3t=0$%. В таком виде далее и будем его исследовать.

1) Пусть $%t\in(\pi;\frac{5\pi}4)$%. При этом $%\sin2t\in(0;1)$%; $%-2\cos t\in(\sqrt2;2)$%, откуда ясно, что значение логарифма отрицательно. Далее, $%\sin3t$% на данном интервале также отрицателен. Следовательно, левая часть уравнения здесь всюду отрицательна, и в ноль не обращается. На этом интервале решений не имеется.

2) Пусть $%t\in(\frac{5\pi}4;\frac{3\pi}2)$%. Изучим знаки каждого из слагаемых. Прежде всего, выясним, когда имеет место обращение в ноль. Для логарифма это происходит в точке, где $%\cos t=-\frac12$%, а такая точка на интервале всего одна: это $%t=\frac{4\pi}3$%. Легко также заметить, что при $%t < \frac{4\pi}3$% имеет место неравенство $%-2\cos t > 1$%, поэтому значение логарифма меньше нуля (с учётом того, что основание логарифма меньше единицы). И наоборот, при $%t > \frac{4\pi}3$% имеет место неравенство $%-2\cos t < 1$%, поэтому значение логарифма больше нуля.

Синус обращается в ноль в той же самой точке $%t=\frac{4\pi}3$%, откуда следует, что она является корнем уравнения. Также легко видеть, что при $%t < \frac{4\pi}3$% значение синуса отрицательно, а при $%t > \frac{4\pi}3$% оно положительно.

Таким образом, других корней уравнение не имеет: во всех точках интервала кроме $%t=\frac{4\pi}3$% слагаемые или одновременно отрицательны, или одновременно положительны.

Учитывая $%2\pi$%-периодичность, имеем $%t=-\frac{2\pi}3-2\pi k$%, где $%k$% целое (знак минус перед $%k$% взят для удобства, а вместо $%\frac{4\pi}3$% мы взяли эквивалентное значение, отличающееся на период). Тем самым, $%x=\frac{4\pi}3+4\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%.

ссылка

отвечен 28 Апр '14 0:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×896
×882
×247

задан
27 Апр '14 21:24

показан
2669 раз

обновлен
1 Май '14 17:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru