Здравствуйте!

Задание:

Для любых допустимых значений $%a$% решить уравнение: $$log_{a}{(x^2-3a)}=log_{a}{(a^2-3x)}$$

Общая суть решения мне вроде понятно. Но я не смог решить так как не понимаю.

  1. Почему исследуют на интервале $%a \in (0;1) и (1;3]$%и откуда вторая часть?
  2. Как извлечь дискриминант? Вроде квадрат, но не выходит.

Спасибо.

задан 27 Апр '14 21:37

изменен 29 Апр '14 22:23

Deleted's gravatar image


126

@falcao, @ASailyan, @epimkin, И вот какой ответ мне выбрать верным??

(28 Апр '14 16:19) ВладиславМСК

Ответ надо давать в полной форме. Это типично для задач, где уравнение надо решить при всех значениях параметра. Если количество корней зависит от значения $%a$%, то именно в такой форме и пишут. Типа, при таких $%a$% будет так, при других -- как-то ещё.

(28 Апр '14 16:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Прокомментировать ход решения, о котором Вы сказали, довольно затруднительно, если не видеть перед собой весь текст. Поэтому я просто изложу "с нуля".

Прежде всего, $%a > 0$% и $%a\ne1$%. При других $%a$% решений нет. Далее, $%x^2-3a=a^2-3x > 0$%. Эти условия являются необходимыми и достаточными.

Уравнение проще всего решить, перенеся всё в одну часть: $%x^2-a^2+3(x-a)=0$%. Далее надо воспользоваться формулой для разности квадратов, откуда будет ясно, что $%x=a$% или $%x=-a-3$% (второе -- после сокращения на $%x-a\ne0$%). Теперь надо проверить, удовлетворяют ли найденные числа неравенству $%a^2 > 3x$%.

Заметим, что $%a\ne-a-3$% ввиду $%a > 0$%. Корень $%x=a$% подходит при $%a > 3$%. Для второго корня $%x=-a-3$% имеем $%a^2 > -3a-9$%, что выполнено всегда.

Таким образом, корней нет при $%a\le0$% и при $%a=1$%. Если $%a\in(0;1)\cup(1;3]$%, то корень имеется один: $%x=-a-3$%. Если $%a > 3$%, то корней два: $%x\in\{-a-3;a\}$%.

ссылка

отвечен 27 Апр '14 21:57

@falcao, почему мы берём $%a\in(0;1)\cup(1;3]$%, а не просто $%a\in(0;1)$%?

(27 Апр '14 22:05) ВладиславМСК

У нас второй корень есть при $%a > 3$%. Значит, при $%a\le3$% его нет. Но мы знаем, что $%a > 0$% и $%a\ne1$%. Поэтому и получается то условие, про которое Вы сказали.

(27 Апр '14 22:17) falcao

@falcao, т.е. мы рассматриваем интервал не с точки зрения основания, а от промежутка?

(27 Апр '14 22:24) ВладиславМСК

Что это значит? Мы проанализировали, при каких значениях параметра уравнение имеет один корень. В процессе анализа оказалось, что это происходит при $%a\in(0;1)\cup(1;3]$%. Здесь учтено то, что $%a$% есть основание логарифма, поэтому числа $%a\le0$% и $%a=1$% не включены. Также учтено то, что при $%a > 3$% есть ещё один корень. Если всё это выбросить из числовой прямой, то останется ровно то, что написано.

(27 Апр '14 22:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%log_{a}{(x^2-3a)}=log_{a}{(a^2-3x)}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-3a=a^2-3x \\a^2-3x>0 \\ a>0 \\a\ne1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+3x-3a-a^2=0 \\x<\frac {a^2}3 \\ a>0 \\a\ne1 \end{cases} \Leftrightarrow $%

$%\begin{cases}\left[ \begin{aligned} x=a\\ x=-a-3 \end{aligned} \right.\\x<\frac {a^2}3 \\ a>0 \\a\ne1 \end{cases} $%

  • При $%а\le 0 $% или $%a=1$% уравнение не имеет смысла, следовательно не имеет решений.
  • При $% a\in(3;\infty),$% корни квадратного уравнения удовлетворяют условию $%x<\frac{a^2}3,$%- уравнение имеет 2 решения $%x_1=a; x_2=-a-3.$% (Корни разные , потому что при $%a>0,$% $%-а-3<0.$%)
  • При $%a\in(0;1)\cup(1;3],$% условию $%x<\frac{a^2}3$% удовлетворяет только отрицателный корень $%x=-a-3,$%-уравнение имеет одно решение $%x =-a-3.$%
ссылка

отвечен 27 Апр '14 22:11

изменен 27 Апр '14 22:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

link text

Непорядок: нет ни одного графического

ссылка

отвечен 28 Апр '14 16:03

@epimkin: я, по правде говоря, не понял, какую роль здесь играют графики помимо того, что они нарисованы. Там ведь корни уравнения всё равно находятся аналитическим способом.

(28 Апр '14 16:15) falcao

@falcao , зато видно какие и когда

(28 Апр '14 16:19) epimkin

@epimkin: возможно, я не понял самого принципа. Какую информацию можно увидеть из картинок?

(28 Апр '14 16:26) falcao

@falcao, где, сколько и какие корни. Тот вопрос уже принят(логарифм с синусами разными. Условие там другое, я там комментарий оставил, но не знаю читаются ли принятые вопросы. Напишу здесь, там стоят скобки, то есть в левой части логарифм суммы синусов, что , видимо , упрощает дело

(28 Апр '14 17:29) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931
×259
×257

задан
27 Апр '14 21:37

показан
1223 раза

обновлен
28 Апр '14 17:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru