|
Пусть $%f(x)$% - постоянная функция, определенная при всеx $%х > 0$% так что $%f(x_1) > f(x_2) > 0$% для любых $%x_2 > x_1 >0$%.
Пусть $$S(x)=\int_x^{2x}f(t)dt,\quad S(1)=1$$ Необходимо: задан 28 Апр '14 13:28 
Ирина X |
|
a) Пусть $%O=(0,0), A=(a,f(a)), B=(a,0), C=(2a,f(2a)), D=(2a,0)$%. Из дополнительного условия на площадь имеем: $%3S(a)=S(a)+af(a)/2-af(2a)$%. Тут важно условие на монотонное убывание, чтобы правильно определить площадь как сумму площадей треугольника $%OAB$%, трапеции $%ACDB$% минус площадь $%OCD$%. Это можно переписать в виде $$S(x)=x/4(f(x)-2f(2x))$$ Продифференцировав интеграл, получим $%S'(x)=2f(2x)-f(x)$%. В результате получаем уравнение $$S=-xS'/4,$$ решением которого при $%S(1)=1$% будет функция $%S=1/x^4$%. Соответственно, $%f(x)-2f(2x)=-S'(x)=4/x^5$%. б) По индукции нетрудно доказать, что $$2^nf(2^nx)=f(x)-4(\sum_{k=0}^{n-1}1/16^k)1/x^5, $$ откуда $$w(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}2^nf(2^nx)=f(x)-4\frac{1}{1-1/16}1/x^5=f(x)-64/(15x^5),$$ откуда $$\int_{x}^{2x}w(t)dt=S(x)-\int_{x}^{2x}64/(15t^5)dt=0.$$ в) Поскольку функция $%w(x)$% неотрицательна, то $%w(x)\equiv 0$% и $%f(x)=64/(15x^5)$%. отвечен 28 Апр '14 13:57 
cartesius |
Имеется ввиду, что $%f(x)$% фиксированная, надо полагать?
Да, похоже на то.