Пусть $%f(x)$% - постоянная функция, определенная при всеx $%х > 0$% так что $%f(x_1) > f(x_2) > 0$% для любых $%x_2 > x_1 >0$%. Пусть $$S(x)=\int_x^{2x}f(t)dt,\quad S(1)=1$$
Известно, что для любого $%a>0$% площадь, ограниченная:
- линией, соединяющей начало координат с $%(a, f(a))$%;
- линией, соединяющей начало координат с точкой $%(2a, f(2a))$%;
- кривой $%y=f(x)$% --
равна $%3S(a) $%.

Необходимо:
a) Выразить $%S(x)$%, $%f(x)-2f(2x)$% как функцию от $%x$%;
б) Найти значение $$\int_x^{2x}w(t)dt,$$ при условии, что $%x > 0$% и $%w(t)=\lim_{n\to\infty}2^nf(2^nx)$%;
в) Найти функцию $%f(x)$%.

задан 28 Апр '14 13:28

изменен 28 Апр '14 14:22

falcao's gravatar image


261k33750

Имеется ввиду, что $%f(x)$% фиксированная, надо полагать?

(28 Апр '14 13:36) cartesius

Да, похоже на то.

(28 Апр '14 13:51) Ирина X
10|600 символов нужно символов осталось
1

a) Пусть $%O=(0,0), A=(a,f(a)), B=(a,0), C=(2a,f(2a)), D=(2a,0)$%.

Из дополнительного условия на площадь имеем: $%3S(a)=S(a)+af(a)/2-af(2a)$%. Тут важно условие на монотонное убывание, чтобы правильно определить площадь как сумму площадей треугольника $%OAB$%, трапеции $%ACDB$% минус площадь $%OCD$%. Это можно переписать в виде $$S(x)=x/4(f(x)-2f(2x))$$

Продифференцировав интеграл, получим $%S'(x)=2f(2x)-f(x)$%. В результате получаем уравнение $$S=-xS'/4,$$ решением которого при $%S(1)=1$% будет функция $%S=1/x^4$%. Соответственно, $%f(x)-2f(2x)=-S'(x)=4/x^5$%.

б) По индукции нетрудно доказать, что $$2^nf(2^nx)=f(x)-4(\sum_{k=0}^{n-1}1/16^k)1/x^5, $$ откуда $$w(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}2^nf(2^nx)=f(x)-4\frac{1}{1-1/16}1/x^5=f(x)-64/(15x^5),$$ откуда $$\int_{x}^{2x}w(t)dt=S(x)-\int_{x}^{2x}64/(15t^5)dt=0.$$

в) Поскольку функция $%w(x)$% неотрицательна, то $%w(x)\equiv 0$% и $%f(x)=64/(15x^5)$%.

ссылка

отвечен 28 Апр '14 13:57

изменен 28 Апр '14 15:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,326

задан
28 Апр '14 13:28

показан
431 раз

обновлен
28 Апр '14 15:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru