Дана кривая $%C$%, определенная как $%y=f(x)$%, положим, что касательная в $%P(x,y)$% перпендикулярна сегменту линии, соединяющей $%P$% и $%Q(1, 0)$%.
а)Найти дифференциальное уравнение, удовлетворяющее функции $%f(x)$%.
б)Если $%3y=15-2x$% - касательная кривой $%C$%, найти уравнение кривой $%C$%.

задан 28 Апр '14 13:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

Угловой коэффициент касательной в точке $%(x;y)$% равен $%y'=f'(x)$%. Угловой коэффициент прямой, соединяющей точки $%(x;y)$% и $%(1;0)$%, равен $%\frac{y-0}{x-1}$%. Поскольку прямые перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов равно $%-1$%. Отсюда получается дифференциальное уравнение $%yy'=1-x$%.

Решаем это уравнение, замечая, что $%(y')^2=2yy'=2-2x$%, откуда $%y^2=2x-x^2+k$%, где $%k$% -- константа. Заметим, что это уравнение окружности (или её части): $%(x-1)^2+y^2=k+1$%.

Найдём значение константы $%k$% для случая, когда одна из касательных к кривой задана уравнением из пункта б): $%y=5-\frac{2x}3$%. Угловой коэффициент равен $%-\frac23$%, поэтому для перпендикулярной прямой он равен $%\frac32$%. Через точку $%(1;0)$% проходит прямая $%y=\frac32(x-1)$% с таким свойством. Из уравнения $%5-\frac{2x}3=\frac32(x-1)$% находим абсциссу точки касания $%x=3$%. Ясно, что тогда $%y=3$%. Подставляя эти числа в уравнение кривой, имеем $%k=x^2-2x+y^2=12$%. С учётом того, что касание происходит в точке с ординатой $%y > 0$%, выражаем $%y=\sqrt{12+2x-x^2}$%, где квадратный корень взят со знаком "плюс".

ссылка

отвечен 28 Апр '14 14:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,118

задан
28 Апр '14 13:40

показан
415 раз

обновлен
28 Апр '14 14:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru