Доказать равенство $$lim_{n→∞} {1/n}(∑_{k=n+1}^{2n}ln(k)-nln(n))=∫_1^2ln(x)dx$$

задан 28 Апр '14 13:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Выражение в скобках равно сумме $%\ln(1+\frac1n)+\ln(1+\frac2n)+\cdots+\ln(1+\frac{n}n)$%, что следует из свойств логарифмов. Числа $%x_1=1+\frac1n$%, $%x_2=1+\frac2n$%, ... , $%x_n=1+\frac{n}n$% задают разбиение отрезка $%[1;2]$%, диаметр которого равен $%\frac1n$%. Таким образом, в задаче требуется найти предел выражения $%\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}n$% при $%n\to\infty$%, где $%f(x)=\ln x$%. Это есть не что иное как интегральная сумма для непрерывной функции. Согласно определению интеграла Римана, который для непрерывной функции всегда существует, предел интегральных сумм равен определённому интегралу, если диаметр разбиения стремится к бесконечности. В данном случае это так, поэтому $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}n=\int\limits_1^2\ln x\,dx.$$

ссылка

отвечен 28 Апр '14 14:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×74

задан
28 Апр '14 13:50

показан
438 раз

обновлен
28 Апр '14 14:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru