Заданы три точки в системе координат: $%A(−1, 0)$%, $%B(1, 0)$% и $%C(t, 2t^2 + 1)$%. Биссектриса угла $%ACB$% пересекает ось x в точке $%Q$%. Определите функцию $% f(t)=|QB|/|AQ|$%, где $%|QB|$% и $%|AQ|$% длины сегментов линий $%QB$% и $%AQ$% соответственно. Найдите максимальное и минимальное значения $%f(t)$%.

задан 28 Апр '14 14:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

По свойству биссектрисы угла, отношение $%|QB|/|AQ|$% равно отношению $%|CB|/|CA|$%. Поскольку это число неотрицательно, достаточно исследовать на максимум и минимум квадрат функции $%f$%, то есть $%f(t)^2=\frac{|CB|^2}{|CA|^2}=\frac{(2t^2+1)^2+(t-1)^2}{(2t^2+1)^2+(t+1)^2}=1-\frac{4t}{(2t^2+1)^2+(t+1)^2}$%. Рассмотрим функцию, обратную последней дроби, без учёта множителя 4, и исследуем её на наибольшее и наименьшее значение: $%g(t)=\frac{(2t^2+1)^2+(t+1)^2}t=4t^3+5t+2+2t^{-1}$%. Производная равна $%g'(t)=12t^2+5-2t^{-2}=(4t^2-1)(3t^2+2)t^{-2}$%. Она обращается в ноль в точках $%t=\pm12$%, а также мы можем установить промежутки возрастания и убывания этой функции. Замечая, что $%g(-\frac12)=-5$% и $%g(\frac12)=9$%, приходим к выводу, что на отрицательной полуоси множеством значений функции будет луч $%(-\infty;-5]$%, а на положительной полуоси -- луч $%[9;+\infty)$%. переходим к обратным величинам, меняем знак, умножаем на 4, прибавляем 1. Получается, что $%f(t)^2$% принимает значения из $%[1;\frac95]$% при $%t\le0$% и значения из $%[\frac59;1]$% при $%t\ge0$%. Следовательно, $%f(t)^2$% имеет множество значений $%[\frac59;\frac95]$%, то есть максимальное и минимальное значения функции $%f(t)$% равны $%\sqrt{\frac95}$% и $%\sqrt{\frac59}$% соответственно.

ссылка

отвечен 28 Апр '14 15:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×104

задан
28 Апр '14 14:42

показан
480 раз

обновлен
28 Апр '14 15:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru