система-уравнений - Решить систему

Можно ввести обозначения $%a=\sqrt[4]x$%, $%b=\sqrt[4]{y}$%, чтобы система получилась алгебраической. Уравнения приобретают вид $%(a-b)(a^2-b^2)=16$% и $%(a+b)(a^2+b^2)=40$%. В случае "симметричных" систем удобно извлекать из имеющихся равенств те или иные следствия -- например, складывая или вычитая друг из друга уравнения. Если мы раскроем скобки в обоих случаях, то получится, что $%a^3+b^3-ab(a+b)=16$% и $%a^3+b^3+ab(a+b)=40$%. Рассмотрение полусуммы и полуразности даёт $%a^3+b^3=28$% и $%ab(a+b)=12$%. Заметим, что эти два условия, взятые вместе, равносильны исходным.

Используя полученные равенства, нетрудно выразить куб суммы чисел: $%(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=28+36=64$%. Это значит, что $%a+b=4$%. При этом $%ab=12/4=3$%. Теперь мы знаем сумму и произведение чисел, и их можно найти из квадратного уравнения. Но здесь ясно, что подходят $%1$% и $%3$% (в любом порядке). Теорема Виета гарантирует, что других вариантов нет. Легко видеть, что найденные значения удовлетворяют системе с неизвестными $%a$%, $%b$%.

Осталось возвести числа в 4-ю степень, получая два решения исходной системы: $%(x;y)\in\{(1;81),(81;1)\}$%.