(∜х-∜у)(√х-√у)=16(∜х+∜у)(√х+√у)=40

задан 28 Апр '14 21:33

изменен 28 Апр '14 23:22

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно ввести обозначения $%a=\sqrt[4]x$%, $%b=\sqrt[4]{y}$%, чтобы система получилась алгебраической. Уравнения приобретают вид $%(a-b)(a^2-b^2)=16$% и $%(a+b)(a^2+b^2)=40$%. В случае "симметричных" систем удобно извлекать из имеющихся равенств те или иные следствия -- например, складывая или вычитая друг из друга уравнения. Если мы раскроем скобки в обоих случаях, то получится, что $%a^3+b^3-ab(a+b)=16$% и $%a^3+b^3+ab(a+b)=40$%. Рассмотрение полусуммы и полуразности даёт $%a^3+b^3=28$% и $%ab(a+b)=12$%. Заметим, что эти два условия, взятые вместе, равносильны исходным.

Используя полученные равенства, нетрудно выразить куб суммы чисел: $%(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=28+36=64$%. Это значит, что $%a+b=4$%. При этом $%ab=12/4=3$%. Теперь мы знаем сумму и произведение чисел, и их можно найти из квадратного уравнения. Но здесь ясно, что подходят $%1$% и $%3$% (в любом порядке). Теорема Виета гарантирует, что других вариантов нет. Легко видеть, что найденные значения удовлетворяют системе с неизвестными $%a$%, $%b$%.

Осталось возвести числа в 4-ю степень, получая два решения исходной системы: $%(x;y)\in\{(1;81),(81;1)\}$%.

ссылка

отвечен 28 Апр '14 23:21

@falcao , после замен ( таких же), я делил одно на другое (т.к а не равно b)

(28 Апр '14 23:51) epimkin

@epimkin: идея, что можно поделить, мне в голову приходила, но сразу же показалось, что она не ведёт к чему-то простому. Сократится сумма, и что? Поэтому я предпочёл другой путь, который сразу сработал.

Но здесь наверняка можно разные способы применять. То, что Вы предложили, если я правильно понимаю, позволяет найти отношение чисел, и его остаётся далее подставить.

(28 Апр '14 23:59) falcao

@falcao , система вобщем-то простая. Я вчера нашел , на мой взгляд, непростую, специально для Вас. Завтра задам вопрос ( а может два)

(29 Апр '14 0:02) epimkin

@falcao , так что готовтесь

(29 Апр '14 0:03) epimkin

@epimkin: да, будем ждать! У меня, правда, завтра будет трудный рабочий день, но потом я целую неделю на "каникулах"!

(29 Апр '14 0:10) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×319

задан
28 Апр '14 21:33

показан
601 раз

обновлен
29 Апр '14 0:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru