|
Найдите все значения $%a$%, при каждом из которых система имеет ровно три различных решения. Помогите решить. задан 29 Апр '14 12:33 
Snaut |
|
Графически. Изобразите окружность и двигайте "птичку", соответствующую модулю, вдоль прямой $%y=1$% (вершина лежит на этой прямой). Сразу видно одно решение - при $%a=4$%. Еще два варианта, когда один луч модуля касается окружности, а второй ее пересекает. Эти точки симметричны относительно $%4$%. Если рассмотреть $%a<4$%, то левый луч - прямая вида $%y=-x+b$% - касается окружности в точке ее пересечения с прямой $%y=x$%. И из условия $$\begin{cases}y=x,\\(x-4)^2+(y-4)^2=9,\end{cases}$$ получаем, что $%y=-x+b$% проходит через точку $%(4-3/\sqrt{2},4-3/\sqrt{2})$%. А при $%y=1$% $%x$% равен $%7-3\sqrt{2}$% - это и есть вершина графика модуля. $%a=7-3\sqrt{2}$%. Как уже было сказано, еще одно значение $%a$% получаем симметрично относительно $%4$%: $%a=4+(4-7+3\sqrt{2})=1+3\sqrt{2}$%. отвечен 29 Апр '14 12:57 
cartesius Спасибо. Только пока что не понял, что это за прямая y=−x+b, точнее я понял что она пересекает окружность в нужной точке, но как произошел переход к параметру a?
(29 Апр '14 14:08)
Snaut
Лучше так тогда: левая ветка, про которую я написала $%y=-x+b$%, на самом деле находится раскрытием модуля для кривой $%y=|x-a|+1$%. Если выбрать нужную ветвь (левую), то $%y=-x+a+1$%, то переход к параметру $%a$% более очевиден. (Можно не $%b$% считать, а сразу $%a$%.)
(29 Апр '14 15:31)
cartesius
Теперь дошло, просто сначала запутался и ошибся из-за чего ваш ответ у меня получился. Теперь все в порядке.
(29 Апр '14 16:38)
Snaut
|
А в чем трудность? Решается графически, первое уравнение - уравнение окружности с центром (4;4) и радиусом 3, второе - уравнение "плавающего" уголка, вершина которого имеет координаторы (a;1). Нарисуйте положение уголка, при котором у графиков 3 решения и найдите, при каких a это выполняется.