Найдите все значения $%a$%, при каждом из которых система
$$(x−4)^2+(y−4)^2=9,$$ $$y=|x−a|+1$$

имеет ровно три различных решения.

Помогите решить.

задан 29 Апр '14 12:33

изменен 29 Апр '14 21:07

Angry%20Bird's gravatar image


9125

1

А в чем трудность? Решается графически, первое уравнение - уравнение окружности с центром (4;4) и радиусом 3, второе - уравнение "плавающего" уголка, вершина которого имеет координаторы (a;1). Нарисуйте положение уголка, при котором у графиков 3 решения и найдите, при каких a это выполняется.

(29 Апр '14 12:54) Doctrina
10|600 символов нужно символов осталось
3

Графически. Изобразите окружность и двигайте "птичку", соответствующую модулю, вдоль прямой $%y=1$% (вершина лежит на этой прямой). Сразу видно одно решение - при $%a=4$%. Еще два варианта, когда один луч модуля касается окружности, а второй ее пересекает. Эти точки симметричны относительно $%4$%.

Если рассмотреть $%a<4$%, то левый луч - прямая вида $%y=-x+b$% - касается окружности в точке ее пересечения с прямой $%y=x$%. И из условия $$\begin{cases}y=x,\\(x-4)^2+(y-4)^2=9,\end{cases}$$ получаем, что $%y=-x+b$% проходит через точку $%(4-3/\sqrt{2},4-3/\sqrt{2})$%. А при $%y=1$% $%x$% равен $%7-3\sqrt{2}$% - это и есть вершина графика модуля. $%a=7-3\sqrt{2}$%. Как уже было сказано, еще одно значение $%a$% получаем симметрично относительно $%4$%: $%a=4+(4-7+3\sqrt{2})=1+3\sqrt{2}$%.

ссылка

отвечен 29 Апр '14 12:57

Спасибо. Только пока что не понял, что это за прямая y=−x+b, точнее я понял что она пересекает окружность в нужной точке, но как произошел переход к параметру a?

(29 Апр '14 14:08) Snaut

Лучше так тогда: левая ветка, про которую я написала $%y=-x+b$%, на самом деле находится раскрытием модуля для кривой $%y=|x-a|+1$%. Если выбрать нужную ветвь (левую), то $%y=-x+a+1$%, то переход к параметру $%a$% более очевиден. (Можно не $%b$% считать, а сразу $%a$%.)

(29 Апр '14 15:31) cartesius

Теперь дошло, просто сначала запутался и ошибся из-за чего ваш ответ у меня получился. Теперь все в порядке.

(29 Апр '14 16:38) Snaut
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×320

задан
29 Апр '14 12:33

показан
2261 раз

обновлен
29 Апр '14 16:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru