Прошу дать указание решения, если кто-то увидит что-нибудь разумное, а то возводить в квадрат сильно не хочется. $$ 2 x^{2} +2ax-a^{2} = \sqrt{4x+2a+3a^{2}} $$

задан 30 Апр '14 1:12

изменен 30 Апр '14 1:12

Так, увидела, что если поделить на 2 обе части и выделить слева полный квадрат, получается что-то симпатичное.

(30 Апр '14 1:16) Doctrina

@Doctrina: а там условие точно правильное? Дело в том, что после замены можно выразить $%a^2$% через $%y=2x+a$%, но в обратную сторону получается уравнение 4-й степени, которое в явном виде вроде бы не решается. Если уравнение именно такое, то, может, вопрос другой? Типа, при каких $%a$% оно имеет столько-то решений?

(30 Апр '14 2:21) falcao

Я перепроверила, вопрос такой и в уравнении вряд ли ошибка. Это задача мехмата за 1994, так что не удивительно, что она кусается.

(30 Апр '14 2:28) Doctrina

@Doctrina: я пока что не смотрел всё внимательно и как следует. Но мне показалось, что уравнение 4-й степени там возникает "нехорошее". Скажем, можно попробовать подставить конкретное $%a$%, для которого корни будут "плохими". В этом случае нет никакого "обходного" пути.

(30 Апр '14 2:45) falcao

Понятно. Я еще похожу кругами, но вполне возможно, что тут действительно требуется решение "в лоб" и ничего другое не идет.

(30 Апр '14 2:56) Doctrina
10|600 символов нужно символов осталось
4

Вообще-то с условием всё в порядке: трудности мне "привиделись".

Напрашивается замена $%y=2x+a$%. После домножения на $%2$% тогда получается $%y^2-3a^2=2\sqrt{2y+3a^2}$%. Положим $%z=\sqrt{2y+3a^2}$%. Ясно, что $%z^2+2z=y^2+2y$%, то есть $%(z-y)(z+y+2)=0$%. После разложения на множители всё упрощается.

Первое условие $%z=y$% означает, что $%\sqrt{2y+3a^2}=y$%. Оно равносильно системе из двух условий: $%y^2=2y+3a^2$% и $%y\ge0$%. Из $%(y-1)^2=3a^2+1$% имеем $%y=1\pm\sqrt{3a^2+1}$%. Корень $%1+\sqrt{3a^2+1}$% подходит при любом $%a$%. Второе значение -- только при $%a=0$%, где получается $%y=0$%.

Теперь рассмотрим второе условие: $%z+y+2=0$%, то есть $%\sqrt{2y+3a^2}=-y-2$%. Здесь $%y\le-2$% и $%y^2+2y+4-3a^2=0$%, откуда $%y=-1\pm\sqrt{3a^2-3}$%. Здесь, во-первых, $%|a|\ge1$%. Во-вторых, значение со знаком "плюс" перед корнем не годится. Для значения со знаком "минус" условие $%y=-1-\sqrt{3a^2-3}\le-2$% означает, что $%|a|\ge\frac2{\sqrt3}$%.

Теперь, в зависимости от значений $%a$%, с учётом $%x=\frac{y-a}2$%, легко выписывается ответ. При $%|a|\ge\frac2{\sqrt3}$% корней имеется два: $%x=\frac{\sqrt{3a^2+1}+1-a}2$% и $%x=-\frac{\sqrt{3a^2-3}+a+1}2$%. Также два корня имеется при $%a=0$%: это $%x\in\{0;1\}$%. При остальных $%a$%, то есть при $%0 < |a| < \frac2{\sqrt3}$% корень у уравнения один, и он равен $%x=\frac{\sqrt{3a^2+1}+1-a}2$%.

ссылка

отвечен 30 Апр '14 3:44

Спасибо, я разобралась, но второй абзац - это же магия какая-то, настолько эти замены неочевидны.

(30 Апр '14 23:00) Doctrina
1

@Doctrina: второй абзац -- как раз совершенно понятная вещь! Там и там получается $%3a^2$%, и замена тут же напрашивается. У меня она же была и в "искажённом" варианте, когда я в левой части по ошибке написал $%y^2-5a^2$%. Но при этом ничего хорошего не выходило, почему я и усомнился.

(30 Апр '14 23:02) falcao

Теперь буду знать, раньше никогда не сталкивалась с "двойными" заменами.

(30 Апр '14 23:25) Doctrina
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,843
×534
×259
×60

задан
30 Апр '14 1:12

показан
1428 раз

обновлен
30 Апр '14 23:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru