Мне необходимо вычислить сумму

$$\sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{i}{j}\frac{1}{e^{(i+j)}-1}[i,j\text{ - взаимно простые числа}],$$

где $%[A]$% - нотация Айверсона, т. е. если $%A$% верно, то значение $%[A]=1$%, иначе $%0$%.

Т. е. сумма ведётся по множеству всех рациональных чисел, поэтому не совсем понятно, как приступить к вычислению этой суммы?

задан 30 Апр '14 13:22

изменен 30 Апр '14 13:23

Интересный вопрос! А если нет ограничения на взаимную простоту, то Вы пробовали суммировать?

(30 Апр '14 13:48) falcao

Я не пробовал. Ограничение на простоту существенно, т. к. задача имеет вероятностный смысл: среднее нерешёточного (non-lattice) распределения.

(30 Апр '14 14:19) MathTrbl

Понятно, что суммы там различаются -- мне просто было интересно, является ли задача подсчёта принципиально более лёгкой, если ограничения нет.

А какое распределение тут рассматривается?

(30 Апр '14 15:11) falcao

Распределение, носитель которого всюду плотен на числовой прямой. $%P\{\xi = \frac{i}{j}\}=\frac{(e-1)^2}{e^{(i+j)}-1}$%

(30 Апр '14 17:28) MathTrbl

@MathTrbl: а что, разве сумма чисел этого вида равна единице?

(3 Май '14 2:09) falcao

@MathTrbl: меня тут что-то поначалу смутило, но потом я разобрался. Там действительно получается единица, если суммировать по парам взаимно простых чисел. Тогда встаёт такой вопрос: раз эту уже сделано, то нельзя ли воспользоваться уже имеющимся способом подсчёта, перенося его на подсчёт матожидания? Я к тому, что какие-то ссылки на литературу здесь бы явно не помешали.

(3 Май '14 14:54) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×801

задан
30 Апр '14 13:22

показан
557 раз

обновлен
3 Май '14 14:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru