В задачнике попалась такая задача: Найдите длину одной петли кривой $$16a^2y^2=x^2(2a^2-x^2)$$

задан 30 Апр '14 19:12

изменен 5 Май '14 10:35

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ One\,\,\,loop:\,\,y = \pm \frac{{x\sqrt {2a^2 - x^2 } }}{{4a}},\,\,\,\,0 \le x \le \sqrt 2 a,\,\,({\rm{assuming}}\,a > 0).$$ $$ \begin{array}{l} L = 2\int\limits_0^{\sqrt 2 a} {\sqrt {1 + y'^2 } dx = } 2\int\limits_0^{\sqrt 2 a} {\frac{{|x^2 - 3a^2 |}}{{2a\sqrt {2a^2 - x^2 } }}dx = } \frac{1}{a}\int\limits_0^{\sqrt 2 a} {\frac{{2a^2 - x^2 + a^2 }}{{\sqrt {2a^2 - x^2 } }}dx = } \\ = \frac{1}{a}\left( {\int\limits_0^{\sqrt 2 a} {\frac{{2a^2 - x^2 }}{{\sqrt {2a^2 - x^2 } }}} dx + \int\limits_0^{\sqrt 2 a} {\frac{{a^2 }}{{\sqrt {2a^2 - x^2 } }}} dx} \right) = \left\{ {x = \sqrt 2 a\sin t} \right\} = \\ \end{array}$$

$$ = \frac{1}{a}\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2a^2 \cos ^2 tdt + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {a^2 dt} } } \right) = \frac{1}{a}\left( {\frac{{\pi a^2 }}{2} + \frac{{\pi a^2 }}{2}} \right) = \pi a.$$

ссылка

отвечен 23 Май '14 2:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,325
×52

задан
30 Апр '14 19:12

показан
2313 раз

обновлен
23 Май '14 2:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru