Боковая сторона и меньшее основание трапеции равны $%10$%. Определить большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

задан 2 Май '14 17:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я так понимаю, трапеция считается равнобочной -- в противном случае ограничения сверху на площадь не имеется.

Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Большее основание окажется разбито на три части, длины которых равны $%x$%, $%10$% и $%x$%. Высота трапеции при этом будет равна $%\sqrt{100-x^2}$%, поэтому максимизировать надо функцию $%S(x)=(x+10)\sqrt{100-x^2}$% на интервале $%x\in(0;10)$%.

Найдём производную: $%S'(x)=\sqrt{100-x^2}-\frac{(x+10)x}{\sqrt{100-x^2}}=\frac{100-10x-2x^2}{\sqrt{100-x^2}}$%. Числитель дроби равен $%-2(x^2+5x-50)=-2(x+10)(x-5)$% (корни квадратного трёхчлена находятся устно с учётом теоремы Виета). Ясно, что производная обращается в ноль при $%x=5$%, меняя знак с плюса на минус при переходе через эту точку. Значит, это точка наибольшего значения.

Большее основание трапеции, таким образом, равно $%20$%, а площадь при этом равна $%S(5)=75\sqrt3$%.

ссылка

отвечен 2 Май '14 17:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×346

задан
2 Май '14 17:24

показан
4096 раз

обновлен
2 Май '14 17:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru