|
Докажите, что при $%x\in (0; \frac{\pi}{2})$% справедливо неравенство $%xsinx+x^2/2 > 2 - 2cos x$% задан 2 Май '14 17:28 
student |
|
Рассмотрим функцию $%f(x)=x\sin x+x^2/2-2+2\cos x$% на отрезке $%x\in[0;\frac{\pi}2]$%. Ясно, что $%f(0)=0$%. Далее, $%f'(x)=x\cos x+x-\sin x > 0$% при $%x\in(0;\frac{\pi}2]$% в силу, например, неравенства $%x > \sin x$%, справедливого для этих значений. Отсюда следует, что функция $%f(x)$% возрастает на отрезке, и потому $%f(x) > f(0)=0$% при $%x\in (0;\frac{\pi}2)$%. отвечен 2 Май '14 17:59 
falcao |