Докажите, что если число не является полным квадратом, то у него четное количество делителей, а если является квадратом-то нечетное.

задан 4 Май '14 14:21

10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно предложить два способа. Первый таков: у каждого числа $%n$% все делители можно разбить на пары вида $%d$% и $%\frac{n}d$%. Например, у числа 12 список делителей таков: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Мы группируем первое с последним, второе с предпоследним, и так далее; в каждом случае произведение "парных" делителей равно $%n$%. Количество делителей будет чётно во всех случаях, кроме одного -- когда один из делителей $%d$% является "парным" самому себе. А это значит, что $%d\cdot d=n$%, то есть $%n$% является квадратом. Обратное также верно.

Второй способ: если $%n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_r^{k_r}$% -- каноническое разложение натурального числа $%n$%, то для количества натуральных делителей известна такая формула: $%d(n)=(k_1+1)(k_2+1)\ldots(k_r+1)$%. Доказывается она из тех соображений, что при выборе делителя мы берём число $%p_i$% с показателем, принимающим значение от $%0$% до $%k_i$% включительно, то есть получается $%k_i+1$% способ. Все числа такого вида перемножаем по правилу произведения из комбинаторики. Теперь легко понять, когда произведение $%d(n)$% будет нечётным: для этого необходимо и достаточно, чтобы все сомножители были нечётны. Последнее равносильно тому, что все числа $%k_1$%, ... , $%k_r$% чётны. Осталось заметить, что чётность всех показателей степеней в точности означает, что число $%n$% является полным квадратом.

P.S. Не следует говорить "как доказать делители". Доказывать можно только утверждения (в частности, утверждения о делителях), но сами делители являются числами. Их доказать нельзя.

ссылка

отвечен 4 Май '14 14:40

изменен 4 Май '14 14:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×20

задан
4 Май '14 14:21

показан
2081 раз

обновлен
4 Май '14 14:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru