Вот, подскажите, пожалуйста, способ решения. Рассмотреть как квадратное уравнение, раскрыв модули при различных а? $$|x^{4}+ \frac{2a-1}{3}x^{2} + \frac{2a^{2}+a+2}{12}| =\frac{a}{2}|x^{2}+\frac{a}{3}-\frac{1}{6}| +\frac{a+1}{6} $$

задан 5 Май '14 3:42

10|600 символов нужно символов осталось
3

У меня получился такой план решения (возможно, не самый лучший).

Полагаем $%y=\left|x^2+\frac{2a-1}6\right|$%. Тогда уравнение принимает вид $%\left|y^2+\frac{(a+1)(2a+5)}{36}\right|=\frac{a}2y+\frac{a+1}6$%. В обоих случаях $%\frac{a}2y+\frac{a+1}6\ge0$%, и далее получается либо $%y^2+\frac{(a+1)(2a+5)}{36}=\frac{a}2y+\frac{a+1}6$%, либо $%y^2+\frac{(a+1)(2a+5)}{36}+\frac{a}2y+\frac{a+1}6=0$%.

Первый случай после преобразований приводит к равенству $%(y-\frac{a}4)^2=(\frac{a-2}{12})^2$%, откуда $%y=\frac{2a-1}6$% или $%y=\frac{a+1}6$%. Должно выполняться неравенство $%y\ge0$%, поэтому $%y=\frac{2a-1}6$% возможно только при $%a\ge\frac12$%, откуда получается $%x=0$%, и такое число будет решением. Вариант $%y=\frac{a+1}6$% возможен только при $%a\ge-1$%. Неравенство $%\frac{a}2y+\frac{a+1}6\ge0$% при этих условиях выполнено. Тогда остаётся решить уравнение $%\left|x^2+\frac{2a-1}6\right|=\frac{a+1}6$%. Оно приводит к равенствам $%x^2=-\frac{a}2$% и $%x^2=\frac{2-a}6$%. Первое имеет решения при $%a\in[-1;0]$%; второе -- при $%a\in[-1;2]$%.

Осталось рассмотреть второй вариант, то есть $%y^2+\frac{(a+1)(2a+5)}{36}+\frac{a}2y+\frac{a+1}6=0$%. Здесь надо заметить, что второе слагаемое не может оказаться положительным (так как сумма двух последних неотрицательна). Значит, $%a\in[-\frac52;-1]$%. В частности $%a+1\le0$%. Поскольку $%a < 0$% и $%y\ge0$%, неравенство $%\frac{a}2y+\frac{a+1}6\ge0$% возможно только при $%a=-1$% и $%y=0$%, что входит в разобранный выше случай (здесь всё равно, с каким знаком раскрывается модуль). Значит, других решений не имеется.

С учётом проделанного анализа, можно выписать "разветвлённый" ответ.

ссылка

отвечен 5 Май '14 5:01

@falcao, задача мехмата МГУ. Есть решение, но я его не понял

(5 Май '14 15:45) epimkin

@epimkin: я так и подумал, что это мехматская задача. Она несколько "забористая": нужно вовремя увидеть, что второе уравнение корней не имеет. После исследования первого, где корни очень хорошие, со вторым поначалу непонятно, что делать.

Если у Вас есть текст решения, то, может, поместите для сравнения?

(5 Май '14 17:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2
ссылка

отвечен 5 Май '14 18:25

@falcao, вот так там написано

(5 Май '14 18:26) epimkin

@epimkin: это полный текст решения? Там ведь модулей два, и каждый раскрывается по-своему. Не очень понятно, как у них получилось два случая. Причём второй как бы не разобран до конца.

(5 Май '14 18:42) falcao

@falcao, поэтому я ничего в решении не понял. Больше ничего нет

(5 Май '14 18:46) epimkin

@epimkin: я уже не первый раз наблюдаю, когда в технически сложный задачах авторы помещают только подробно прокомментированный ответ. Но это всё-таки не решение, потому что у абитуриента такой текст не приняли бы.

(5 Май '14 18:59) falcao

@falcao, люди делают деньги: в двух разных книгах одинаковое решение

(5 Май '14 19:07) epimkin

@epimkin: вот именно! Коммерция и погоня за "прибылью" вредят любому мало-мальски стоящему делу.

(5 Май '14 19:10) falcao

А мне кажется, это решение на "подумать самому", неполное, но в итоге тоже верное. Можно проверить, что модуль слева всегда раскрывается с плюсом, так как у уравнения нет корней, поэтому случая всего два. Второй они не рассматривают, но там вроде бы аналогичное квадратное уравнение и техническая работа.

(5 Май '14 20:01) Doctrina

@Doctrina: бывает так, что автор текста просто "перекладывает" на читателя свои "обязанности". Если решать самому, это одно, а если объяснять, то надо делать это так, чтобы всё легко воспринималось. При условии, конечно, владении простыми стандартными вещами. Опускать детали можно при условии, что они тривиальны, и легко восстанавливаются.

Я не понял, почему модуль слева всегда раскрывается с плюсом. По-моему, это не очевидно. Этот случай надо разбирать, так как под модулем находится сумма квадрата чего-то и дроби (2a+5)(a+1)/36, которая в принципе может принимать отрицательные значения.

(5 Май '14 23:39) falcao

@falcao, вы правы, конечно. Просто я очень часто работаю с задачниками, где предлагаются такие решения, и нередко ломаю над ними голову, но в итоге - материал усваивается превосходно. В основном ведь решения предназначаются учащимся, и в этом отношении они хороши.

(6 Май '14 0:37) Doctrina
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,737
×530
×258

задан
5 Май '14 3:42

показан
965 раз

обновлен
6 Май '14 0:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru