$%lim (1/x^2-ctg^2 x)$%, $%x→0$%

задан 6 Май '14 1:13

изменен 7 Май '14 22:04

Deleted's gravatar image


126

Функцию можно представить в виде частного: $%\frac{f(x)}{x^2}$%, где $%f(x)=1-x^2{\mathop{\rm ctg}}^2x$%. Далее надо перейти к производным, а потом ко вторым производным. Получится отношение $%\frac{f''(0)}2$%, после чего предел вычисляется.

(6 Май '14 12:19) falcao

Извините,этот пример не очень понятен,можно конкретнее,пожалуйста,написать?Спасибо.

(6 Май '14 12:35) АляТФ

@АляТФ: вот Вы читаете текст, доходите до первого непонятного предложения или оборота, а затем задаёте уточняющий вопрос. Если Вы это сделаете (столько раз, сколько потребуется), то я охотно всё объясню.

(7 Май '14 0:21) falcao

Тут вычисления получаются достаточно сложные, поэтому я привёл полное рассуждение. Вообще-то такие примеры лучше решать другими методами, так как там всё вычисляется проще. Но они, возможно, пока ещё не изучались, поэтому приходится так вот много раз дифференцировать.

(7 Май '14 4:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция, предел которой надо найти, равна $%\frac1{x^2}-\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\frac1{x^2}-\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}=1-(\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2})$%. Найдём предел функции, заключённой в скобки. Она равна $%\frac{f(x)}{g(x)}$% после приведения к общему знаменателю, где $%f(x)=x^2-\sin^2x$%, $%g(x)=x^2\sin^2x$%. Поскольку $%f(0)=g(0)=0$%, мы имеем неопределённость типа $%\frac00$%, и можно применить правило Лопиталя, переходя от отношения функций к отношению их производных.

Имеем $%f'(x)=2x-2\sin x\cos x=2x-\sin2x$%; $%g'(x)=2x\sin^2x+x^2\sin2x$%. При $%x=0$% основа получается неопределённость того же типа, поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз и находим вторые производные. $%f''(x)=2-2\cos2x$%; $%g''(x)=2\sin^2x+2x\sin2x+2x\sin2x+2x^2\cos2x=2\sin^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x$%. Значение каждой из функций по-прежнему равно нулю, и правило применяется третий раз. Для этого находим третьи производные: $%f'''(x)=4\sin2x$%; $%g'''(x)=2\sin2x+4\sin2x+8x\cos2x+4x\cos2x-4x^2\sin2x=(6-4x^2)\sin2x+12x\cos2x$%. Значения обеих функций в нуле по-прежнему равны нулю. Применяем правило Лопиталя в четвёртый раз (он уже будет последним). $%f''''(x)=8\cos2x$%; $%g''''(x)=-8x\sin2x+2(6-4x^2)\cos2x-24x\sin2x+12\cos2x$%, а это равно $%-32x\sin2x+(24-8x^2)\cos2x$%.

Теперь $%f''''(0)=8$% и $%g''''(x)=24$%, поэтому предел отношения равен $%1/3$%. Это предел той функции из начала текста, которая была заключена в скобки. Поэтому ответом будет $%1-\frac13=\frac23$%.

ссылка

отвечен 7 Май '14 4:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×768

задан
6 Май '14 1:13

показан
1025 раз

обновлен
7 Май '14 4:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru