уравнения - Решить уравнение в Z

Решение здесь имеется только нулевое. Основная идея следующая. Если число не делится на 5, то его 4-я степень при делении на 5 даёт в остатке 1. Это проверяется непосредственно для всех ненулевых остатков: 1, 2, 3, 4. Числа 1, 16, 81, 256 обладают нужным свойством.

Из сказанного следует, что сумма вида $%a^4+b^4$% делится на 5 тогда и только тогда, когда оба числа $%a$%, $%b$% кратны 5 (все числа полагаются целыми). В противном случае сумма давала бы остаток 1 или 2. Следовательно, из того, что $%z^4+t^4$% кратно 5, числа можно записать в виде $%z=5z_1$% и $%t=5t_1$%. Из этого мы получаем $%x^4+y^4=125(z_1^4+t_1^4)$%, откуда по той же причине $%x$% и $%y$% оба кратны 5.

Мы пришли к выводу, что если решение существует, то все числа кратны 5. Уравнение однородное, и после деления каждого из чисел на 5 мы снова придём к решению в целых числах. Если решение было ненулевым, то такой процесс не может продолжаться до бесконечности. Значит, ненулевых решений нет.