дискретная-математика - Как не упорядоченность элементов множества гарантирует их не повторяемость?

Представьте себе мешок, в котором лежат какие-то предметы, хорошо отличимые друг от друга. Это наглядный образ того, что такое множество. Оно определяется содержимым мешка, то есть информацией о том, какие объекты (предметы, элементы) лежат в этом мешке, а какие не лежат. Допустим, у нас в мешке всего три предмета (попарно различных), которые можно обозначить через $%a$%, $%b$%, $%c$%. Тогда записать информацию об этом множестве можно так: располагаем его элементы в произвольном порядке, перечисляем через запятую (или через точку с запятой) и окружаем фигурными скобками. Например: $%\{a,b,c\}$%. Если кто-то достанет те же предметы из мешка в другом порядке, записав $%\{b,c,a\}$% или как-то ещё, то получится идентичное множество, хотя и по-другому записанное.

Множество считается заданным, если известно, какие элементы ему принадлежат, а какие не принадлежат. Например, множеству, о котором выше шла речь, принадлежит каждый из трёх элементов $%a$%, $%b$%, $%c$% и не принадлежит никакой другой.

Иногда можно использовать записи типа $%\{a,b,a\}$%, называя один и тот же элемент два раза. Но такое множество будет совпадать с $%\{a,b\}$%. Потому что каждому из них принадлежит и $%a$%, и $%b$%, а больше ничего не принадлежит. Никакой элемент не может принадлежать множеству дважды -- таково соглашение. Он либо принадлежит, либо не принадлежит, и третьего не дано.

Среди множеств можно выделить пустое, которому никакой элемент не принадлежит. Наглядно это мешок, в котором ничего не лежит. Его можно записать в виде $%\{\}$%, но более традиционно обозначение его же символом $%\emptyset$%.

Теперь сравним с понятием упорядоченного набора (кортежа). Рассмотрим случай трёх элементов. Здесь порядок важен, а элементы могут повторяться. Кортежи определяются тем, какой элемент на каком месте расположен. Это практически то же самое, что и векторы, и вместо угловых скобок часто используют фигурные. Тогда векторы $%(x,y,z)$% и $%(a,b,c)$% считаются равными в том и только в том случае, когда они равны покоординатно, то есть $%x=a$%, $%y=b$%, $%z=c$%.

В Вашем вопросе в самом конце есть фраза "как упорядоченность элементов множества...". Она не соответствует действительности. Когда всё свалено в мешок, то порядка там нет. А неповторяемость элементов множества -- это принцип, лежащий в основе самого этого понятия.