Расскажите, пожалуйста, об общих принципах и методах решений уравнений такого вида: $$8x-3y=-2 \\ 4x+5y=1 \\ 5x+9y=24$$ в целых числах.

задан 6 Май '14 21:34

@student: мне только сейчас подумалось, что это у Вас могла быть не система, а просто три независимых примера?

(6 Май '14 22:34) falcao

@falcao, да, так оно и есть.

(6 Май '14 22:34) student

@student: получилось, что я написал много лишнего. Но вообще-то у Вас всё было сформулировано правильно -- просто я не на то подумал.

Тут в принципе всё объяснили, но можете дополнительно посмотреть книгу А.А.Бухштаб, "Теория чисел". Там написано про уравнения вида $%ax+by=c$% и общие способы их решения.

(6 Май '14 23:24) falcao

@falcao: спасибо!

(6 Май '14 23:39) student
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если коэффициенты при $%x$% и $%y$% взаимно просты, то можно воспользоваться свойством:

для любых взаимно простых чисел $%a$% и $%b$% найдутся такие числа $%u$% и $%v$%, что $%ua+vb=1$%.

Дальше проще на примере. Для 8 и -3 такими числами будут 2 и 5: $$2\cdot 8+5\cdot(-3)=1,$$ откуда $$-4\cdot 8 -10\cdot(-3)=-2.$$ Теперь вычитаете это из уравнения $$8x-3y=-2,$$ получится $$8(x+4)-3(y+10)=0$$ или $$8(x+4)=3(y+10).$$ Левая часть делится на 3, поэтому $%x=3k-1$%. Подставим в последнее уравнение и выразим $%y$%: $$24(k+1)=3(y+10),$$ $%y=8k-2$%.

ссылка

отвечен 6 Май '14 22:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим одно из уравнений и решим его в общем виде. Выберем самое простое: $%4x+5y=1$%. Одно из решений видно сразу: это $%x=-1$%, $%y=1$%. Зная частное решение, легко выписать общее решение в параметрическом виде. Это $%x=-1+5t$%, $%y=1-4t$%, где $%t\in{\mathbb Z}$%. Помнится, не так давно какое-то из уравнений такого вида разбиралось в одном из вопросов (возможны, Вы его и задавали).

Теперь, когда одно из уравнений решено, то есть описан общий вид его решения, подставим найденные значения в первое уравнение системы. Это даст $%8(-1+5t)-3(1-4t)=-2$%. Упрощение приводит к $%52t=9$%. Ясно, что в целых числах решений оно не имеет. По этой причине третье уравнение можно не рассматривать.

Могло оказаться так, что мы бы получили что-то типа $%28t=-56$%. Тогда было бы $%t=-2$%, откуда однозначно находились бы $%x$% и $%y$%. После чего осталось бы проверить, удовлетворяют ли эти числа третьему уравнению системы. Ещё мог быть вариант, когда при подстановке всё сокращается: типа $%0t=0$%. Тогда производим подстановку в третье уравнение.

Но вообще-то в данном случае всё ещё проще, так как это обычная система, и решить её можно обычным способом, находя все решения в действительных числах и отбирая далее целочисленные. Если второе уравнение удвоить и вычесть из него первое, то получится $%13y=4$%. Из этого уже ясно, что решений в целых числах нет. Но можно попробовать дорешать до конца. Из $%4x=1-5y=1-\frac{20}{13}$% следует $%x=-\frac7{52}$%. Это мы решили подсистему из первых двух уравнений. Решение получили одно. Теперь подставляем эти числа в последнее уравнение, и они либо подходят, либо не подходят. В данном случае видно, что не подходят.

Чтобы исследовать теми же способами более интересный пример, можно оставить левые части как есть, а правые заменить, но так, чтобы система гарантированно имела решение. Его надо просто задумать, а потом подставить. Например, $%x=3$%, $%y=2$%. Тогда в правой части возникнут числа $%18$%, $%22$%, $%33$%. Можно проверить, есть ли ещё решения помимо задуманного.

ссылка

отвечен 6 Май '14 22:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×204

задан
6 Май '14 21:34

показан
2422 раза

обновлен
6 Май '14 23:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru