В прямоугольном равнобедренном треугольнике с прямым углом B провели медианы AD и CE. Медиану AD продолжили на ее длину за точку D. Получилась точка X. Медиану CE продолжили на ее длину за точку С. Получилась точка Y. Докажите, что AXY=90

задан 6 Май '14 21:56

изменен 6 Май '14 21:59

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь конфигурация довольно простая, и если её нарисовать на клетчатой бумаге, то всё должно стать ясно. Боковую сторону треугольника можно принять за две клеточки. Там можно сделать несколько дополнительных построений, приводящих к появлению равных треугольников. Из этого всё следует, но описывать эти построения долго, поэтому возьмём за основу координатный метод. При помощи него всё делается очень быстро.

Пусть $%B(0;0)$%, $%C(2;0)$%, $%A(0;-2)$%. Тогда $%D(1;0)$%, $%E(0;-1)$%. Теперь находим координаты точек $%X$% и $%Y$%. Точка $%D$% является серединой отрезка $%AX$%, поэтому её координаты получаются как полусуммы координат точек $%A$% и $%X$%. Из этих соображений, $%X(2;2)$%. Аналогично, $%Y(4;1)$%. (Всё это также хорошо будет видно на клетчатой бумаге.)

Теперь находим угловые коэффициенты прямых $%AX$% и $%XY$%. В первом случае будет $%\frac{2-(-2)}{2-0}=2$% (разность ординат делим на разность абсцисс). Во втором случае получается $%\frac{1-2}{4-2}=-\frac12$%. Поскольку произведение угловых коэффициентов равно $%-1$%, прямые $%AX$% и $%XY$% перпендикулярны.

ссылка

отвечен 7 Май '14 1:10

@falcao, а не могли бы вы вкратце описать построения?

(7 Май '14 1:50) Doctrina
1

@Doctrina: это то, что как бы максимально неинтересно описывать, но я попробую. Если из $%Y$% опустить перпендикуляр $%YZ$% на $%CX$%, то $%Z$% окажется серединой этого отрезка, что легко видеть из сравнения длин ($%XC=AB$%, $%ZC=BE$%). Далее становится видно, что треугольники $%ABD$%, $%XCD$%, $%YZX$%, $%YZC$% попарно равны. У них у всех катеты относятся как $%2:1$%. Угол $%AXY$% получается сложен из двух острых углов такого прямоугольного треугольника.

(7 Май '14 2:05) falcao

@falcao, спасибо, я разобралась наконец-то.

(7 Май '14 2:15) Doctrina
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025

задан
6 Май '14 21:56

показан
504 раза

обновлен
7 Май '14 2:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru