Опять не могу сама с мехматом справиться.

alt text

задан 7 Май '14 0:27

@Doctrina , какие-то страшные у Вас задания. Сам, конечно, не решу, но поискать могу. Какой год?

(7 Май '14 0:33) epimkin

@epimkin, да уж, выглядит оно угрожающе. Это 1998 год.

(7 Май '14 0:38) Doctrina

@Doctrina, поищу в своих книжках, если найду, то завтра отвечу здесь, если никто не ответит

(7 Май '14 0:53) epimkin

@epimkin, хорошо, спасибо.

(7 Май '14 0:56) Doctrina

@Doctrina , я нашел

(7 Май '14 13:03) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

Выразим из первых двух уравнений тангенс и приравняем оба выражения. Получится $%\cos^2(\pi xy)-2\cos(\pi xy)+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)+1=0$%, откуда сумма трёх квадратов равна нулю: $%(\cos(\pi xy)-1)^2+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)=0$%. Тем самым, $%\sin(\pi x)=\sin(\pi y)=0$% и $%\cos(\pi xy)=1$%. Это значит, что $%x,y\in{\mathbb Z}$%, причём $%xy$% чётно.

При этих условиях первые два уравнения превращаются в $%\tan(\pi\alpha)=1$%, откуда $%\pi\alpha=\frac{\pi}4+\pi m$%, где $%m$% целое. Последнее число однозначно определяется значением параметра, и при разных $%\alpha$% получаются разные $%m$%. Тем самым, задача сводится к нахождению подходящих значений $%m$%.

Легко видеть, что $%\frac{\pi\alpha}4-\frac{\pi}{16}=\frac{\pi m}4$%. Синус такого угла может принимать значения $%0$%, $%\pm\frac1{\sqrt2}$% и $%\pm1$%, поэтому выражение $%k=1+4\sin^2(\frac{\pi\alpha}4-\frac{\pi}{16})$% принимает значения $%1$%, $%3$% или $%5$%. Последнее неравенство системы равносильно $%0 < k-x^2-y^2\le\sqrt2$%, и остаётся проанализировать, сколько имеется решений при каждом $%k$%.

Если $%k=1$%, то $%1-\sqrt2\le x^2+y^2 < 1$%. Решение здесь только одно: нулевое. Этот случай не походит.

Если $%k=3$%, то $%3-\sqrt2\le x^2+y^2 < 3$%. Это значит, что $%x^2+y^2=2$%. Решений при этом четыре: $%(\pm1;\pm1)$%, но нарушается условие чётности произведения $%xy$%. Поэтому такой случай тоже не подходит.

Если $%k=5$%, то $%5-\sqrt2\le x^2+y^2 < 5$%. Здесь $%x^2+y^2=4$%, и решений ровно четыре: $%(\pm2;0)$% и $%(0;\pm2)$%. Произведение $%xy$% тут везде чётно. Значит, этот случай нам годится.

В итоге мы пришли к выводу, что $%k=5$%. Это равносильно тому, что $%\sin^2\frac{\pi m}4=1$%, то есть $%\cos\frac{\pi m}2=-1$%. Следовательно, $%\frac{m}2$% целое нечётное, то есть $%m=4n+2$%, $%n\in{\mathbb Z}$%. Окончательно получаем, что $%\alpha=\frac14+m=\frac94+4n$%.

ссылка

отвечен 7 Май '14 1:58

10|600 символов нужно символов осталось
2

link text

link text

link text

Как обещал, условие в последней ссылке

ссылка

отвечен 7 Май '14 12:57

изменен 7 Май '14 13:02

Зря плюс один поставили: сам-то не решал (правда искал долго- во всех книгах пример есть, но без решения, в одной только попалось решение

(7 Май '14 18:06) epimkin

@epimkin, вовсе нет, вы мне помогли. Решение похоже на решение falcao, но оно мне прояснило некоторые моменты.

(10 Май '14 2:15) Doctrina
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,328
×903
×892
×304

задан
7 Май '14 0:27

показан
1432 раза

обновлен
10 Май '14 2:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru