алгебра - При каких значениях параметра система уравнений имеет ровно четыре решения?

Выразим из первых двух уравнений тангенс и приравняем оба выражения. Получится $%\cos^2(\pi xy)-2\cos(\pi xy)+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)+1=0$%, откуда сумма трёх квадратов равна нулю: $%(\cos(\pi xy)-1)^2+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)=0$%. Тем самым, $%\sin(\pi x)=\sin(\pi y)=0$% и $%\cos(\pi xy)=1$%. Это значит, что $%x,y\in{\mathbb Z}$%, причём $%xy$% чётно.

При этих условиях первые два уравнения превращаются в $%\tan(\pi\alpha)=1$%, откуда $%\pi\alpha=\frac{\pi}4+\pi m$%, где $%m$% целое. Последнее число однозначно определяется значением параметра, и при разных $%\alpha$% получаются разные $%m$%. Тем самым, задача сводится к нахождению подходящих значений $%m$%.

Легко видеть, что $%\frac{\pi\alpha}4-\frac{\pi}{16}=\frac{\pi m}4$%. Синус такого угла может принимать значения $%0$%, $%\pm\frac1{\sqrt2}$% и $%\pm1$%, поэтому выражение $%k=1+4\sin^2(\frac{\pi\alpha}4-\frac{\pi}{16})$% принимает значения $%1$%, $%3$% или $%5$%. Последнее неравенство системы равносильно $%0 < k-x^2-y^2\le\sqrt2$%, и остаётся проанализировать, сколько имеется решений при каждом $%k$%.

Если $%k=1$%, то $%1-\sqrt2\le x^2+y^2 < 1$%. Решение здесь только одно: нулевое. Этот случай не походит.

Если $%k=3$%, то $%3-\sqrt2\le x^2+y^2 < 3$%. Это значит, что $%x^2+y^2=2$%. Решений при этом четыре: $%(\pm1;\pm1)$%, но нарушается условие чётности произведения $%xy$%. Поэтому такой случай тоже не подходит.

Если $%k=5$%, то $%5-\sqrt2\le x^2+y^2 < 5$%. Здесь $%x^2+y^2=4$%, и решений ровно четыре: $%(\pm2;0)$% и $%(0;\pm2)$%. Произведение $%xy$% тут везде чётно. Значит, этот случай нам годится.

В итоге мы пришли к выводу, что $%k=5$%. Это равносильно тому, что $%\sin^2\frac{\pi m}4=1$%, то есть $%\cos\frac{\pi m}2=-1$%. Следовательно, $%\frac{m}2$% целое нечётное, то есть $%m=4n+2$%, $%n\in{\mathbb Z}$%. Окончательно получаем, что $%\alpha=\frac14+m=\frac94+4n$%.