Добрый день! Нужно найти дисперсию максимального элемента выборки.

Здесь мне помогли найти функцию распределения макс. элемента: $$P\{\max_{j} \xi_j< t\}=P\{\xi_1 < t,\xi_2 < t,\dots,\xi_n < t\}=\text{(в силу независимости)} = \\ = \prod\limits_{j=1}^nP\{\xi_j< t\}=\left(1-e^{-\alpha t}\right)^n$$

Однако этим методом получаются очень сложные интегралы, поэтому я делала по-другому:

$%X_{(n)}$% и $%\xi_1 + \frac{\xi_2}{2} + \frac{\xi_3}{3} + ... + \frac{\xi_n}{n}$% имеют одно и то же показательное распределение.

Тогда пытаюсь найти дисперсию: $%Dx_{(n)} = M[\arrowvert x_{(n)}-Mx_{(n)} \arrowvert ^2] = M[\arrowvert \sum_{k=1}^n \frac{\xi_k}{k} - \frac{1}{\alpha} \cdot \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \arrowvert ^2] = ??? \\$%

Помогите, пожалуйста, разобраться.

(Еще подобная проблема возникает с поиском ковариации минимального и максимального элементов выборки.)

задан 8 Май '14 18:38

изменен 12 Май '14 22:55

@Ice_Fox: дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий.

(10 Май '14 22:46) falcao

@falcao, я в курсе, а Вы это к чему? :)

(12 Май '14 22:06) Ice_Fox

@Ice_Fox: к тому, что дисперсия каждой из величин $%\xi_k$% Вам известна, и она равна $%\alpha^{-2}$%. Значит, у интересующей Вас с.в. дисперсия равна $%\alpha^{-2}(1+1/2^2+\cdots+1/n^2)$%. С использованием того факта, который Вы используете, можно обойтись без интегралов. Ответ при этом обретает более простую форму.

(12 Май '14 22:17) falcao

@falcao, спасибо! Значит, получается, я и мат.ожидание неверно нашла.. Тогда м.о. у $% \xi_k$% = $%\alpha^{-1}$%? Значит м.о. будет $%\alpha^{-1}\cdot(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})$%, да? А откуда тогда в дисперсии квадраты в знаменателях суммы?..

(12 Май '14 22:58) Ice_Fox

Величины здесь экспоненциально распределённые с параметром $%\alpha$%. Матожидание у них равно $%\alpha^{-1}$%, а дисперсия $%\alpha^{-2}$%. Мне кажется, у Вас именно такая формула для матожидания и была получена: там был множитель $%\frac1{\alpha}$%, а потом сумма величин вида $%\frac1k$% по $%k$% от 1 до $%n$%, разве нет?

(12 Май '14 23:12) falcao

@falcao, ой даа... Вы правы... Столько способов, и я запуталась. Спасибо огромное.)

Но все же почему в дисперсии в знаменателях квадраты? $% +... \frac{1}{k^2} + ... $%

(12 Май '14 23:23) Ice_Fox

@Ice_Fox: я когда прочитал условие этой задачи, то не сразу понял, что здесь предлагается опираться на нетривиальный факт (о совпадении распределений), из которого всё немедленно вытекает. Если на него не опираться, то там возникают интегралы, которые в принципе считаются. Но использовать готовый результат, конечно, проще.

То, что Вы сейчас спросили, следует из очевидного равенства $%D(c\xi)=c^2D\xi$%, где $%c$% константа.

(12 Май '14 23:47) falcao

@falcao, ооой... точно... Основные свойства дисперсии! Еще раз большое спасибо)

(12 Май '14 23:50) Ice_Fox
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь на самом деле особых проблем с интегралом не возникает (обозначу максимум $%\mu$%)

$%p(t)=na(1-e^{-at})^{n-1}e^{-at}=na\sum\limits_{k=0}^{n-1} (-1)^{k}C_{n-1}^k\frac{a(k+1)}{a(k+1)}e^{-at(k+1)}$%

Экспонентный множитель соответствует экспоненциальному распределеню с параметром $%\lambda = a(k+1)$%

Отсюда $$D\mu = n^2a^2\sum\limits_{k=0}^{n-1} \left(\frac{(-1)^kC_{n-1}^k}{a(k+1)}\right)^2\frac{1}{\left(a(k+1)\right)^2} = n^2\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{(C_{n-1}^k)^2}{a^2(k+1)^4}$$

Послежний переход возможен в силу аддитивности интеграла.

ссылка

отвечен 10 Май '14 8:29

изменен 13 Май '14 18:54

Спасибо)))

(12 Май '14 20:59) Ice_Fox

@MathTrbl: я сверил Ваш ответ с тем, что должно следовать из совпадения распределений. Получилось какое-то разночтение. Сейчас я заметил, что при нахождении плотности Вы оставили показатель степени равным $%n$%, а должно быть $%n-1$%. Соответственно, запись ответа изменится. Кроме того, если я правильно понимаю, дисперсия не выражается через плотность по той формуле, которая здесь была применена.

(12 Май '14 23:56) falcao

Я действительно заметил свою оплошность, но здесь это не так страшно, поскольку это не повлияет на значение оператора $%\int \cdot^2 dx - (\int \cdot dx)^2$%, просто изменятся индексы.

(13 Май '14 17:19) MathTrbl

@MathTrbl: Вы пока не исправили показатель степени у плотности. Там ответ численно не совпадает. Тут не только сдвиг индексов происходит, потому что тогда множитель должен измениться.

(13 Май '14 18:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,210
×249

задан
8 Май '14 18:38

показан
847 раз

обновлен
13 Май '14 18:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru