Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле для двойного интеграла||f(x,y)dxdy и изменить порядок интегрирования. D D:y=(x+2)^2; y=1/2-x/2; y=0 Не могу понять порядок хода решений

задан 8 Май '14 21:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Надо нарисовать графики и найти точки пересечения линий. Рисуем параболу и две прямые. Прямые пересекутся в точке $%A(1;0)$%. Парабола касается оси $%y=0$% в точке $%B(-2;0)$%. Наконец, решая уравнение $%(x+2)^2=\frac{1-x}2$%, находим корни $%x=-1$% и $%x=-\frac72$%. Вторая точка нас не будет интересовать, а первая даёт точку пересечения $%C(-1;1)$%. Таким образом, $%D$% будет криволинейным треугольником $%ABC$%.

Если $%y$% -- фиксированное число от $%0$% до $%1$%, то $%x$% меняется от $%\sqrt{y}-2$% слева (график параболы) до $%1-2y$% справа (график прямой). Получается $$\int\limits_{0}^1dy\int\limits_{\sqrt{y}-2}^{1-2y}f(x,y)\,dx.$$

Если "внешнее" интегрирование происходит по $%x$%, то интеграл разбивается в сумму двух интегралов -- в зависимости от того, что будет верхней границей фигуры. Получается $$\int\limits_{-2}^{-1}dx\int\limits_0^{(x+2)^2}f(x,y)\,dy+\int\limits_{-1}^{1}dx\int\limits_0^{\frac{1-x}2}f(x,y)\,dy.$$

ссылка

отвечен 8 Май '14 23:07

мы расставили пределы интегрирования, а как изменить порядок? Что это значит?

(10 Май '14 16:05) Кирилл234

@Кирилл234: здесь рассмотрены оба случая. Сначала рассмотрен повторный интеграл, где "внешнее" интегрирование идёт по $%y$%, а "внутреннее" -- по $%x$%. А вторая формула всё делает наоборот, то есть это и есть изменение порядка интегрирования.

(10 Май '14 17:12) falcao

@falcao:А как вы получили вторую формулу и откуда переменная z?

(11 Май '14 20:50) Кирилл234

@Кирилл234: переменной $%z$% тут нет -- это из-за мелкого шрифта так могло показаться. Там дробь имеет вид $%\frac{1-x}2$%. Чтобы понять, откуда взялась формула, надо иметь перед собой рисунок фигуры. Она разделена на две части вертикальной прямой $%x=-1$%. Если $%x$% меняется от $%-2$% до $%-1$%, то $%y$% меняется от $%0$% до $%(x+2)^2$% -- это "низ" и "верх" фигуры. А если $%x$% меняется от $%-1$% до $%1$%, то всё то же самое, но сверху оказывается прямая, заданная уравнением $%y=\frac{1-x}2$%. Поэтому верхний предел интегрирования такой и будет.

(11 Май '14 21:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,326

задан
8 Май '14 21:01

показан
1069 раз

обновлен
11 Май '14 21:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru