На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M, а отрезки AM и BD пересекаются в точке K, BK:KD=3:8
а)Докажите что S(ABK)/S(ABCD)=3/22
б) В каком отношении делит площадь параллелограмма ABCD прямая AM?

Помогите решить.

задан 10 Май '14 16:48

изменен 10 Май '14 16:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

a) $%BK:BD=3:11$%, откуда $%S_{ABK}:S_{ABD}=3:11$%, откуда следует требуемое отношение площадей.

б) Пусть $%HN$% - высота в параллелограмме $%ABCD$%, опущенная на сторону $%AB$% и проходящая через точку $%K$%. $%H$% лежит на $%AB$%. Тогда $%HK:HN=3:11$% - из подобия треугольников $%BKH$% и $%KND$%. Но тогда по формулам вычисления площадей видно, что $%S_{ABK}:S_{ABCD}=3:22$%. Откуда легко получается ответ на вопрос задачи.

ссылка

отвечен 10 Май '14 17:15

изменен 11 Май '14 2:31

это есть такая теорема? что если(к этой задаче) точка K (прямой AK в треугольнике ABD) делит сторону в определенном соотношении, то и площади тоже делятся в том же соотношении?

(10 Май '14 17:21) Snaut

Думаю, в учебнике геометрии это есть в теме "подобие треугольников". Но это легко доказать самому. Проведите высоты $%KH$% и $%DL$% к общей стороне $%AB$% и покажите, рассматривая треугольники $%BKH$% и $%BDL$%, что они относятся как $%3:11$%. А дальше используйте формулу для вычисления площадей.

И Вы правы, это можно сформулировать как отдельную теорему.

(10 Май '14 17:26) cartesius

Да, да, да точно! Сразу не заметил и поспешил с комментарием)

(10 Май '14 18:20) Snaut

Нельзя ли поподробнее про $$S(ABM):S(ABCD)=3:22$$ В книжке ответ $$3/13$$

(11 Май '14 0:06) Snaut
1

@Dr_Snaut: да, 3/13 и должно получиться, если всё аккуратно посчитать. Число 3/22 -- это отношение площади ABK к площади параллелограмма. Если принять их за 3x и 22x, то площадь AKD равна 8x. Тогда площадь BKM получается умножением на квадрат коэффициента подобия, то есть на $%(3/8)^2$%. Это 9x/8. Вместе с 3x получается 33x/8. Это площадь ABM. Она относится к 22x как 3:16. Значит, площади частей разбиения относятся как 3:13.

(11 Май '14 0:27) falcao

Вы правы, у меня конечно по смыслу не $%S(ABM):S(ABCD)=3:22$%, а $%S(ABK):S(ABCD)=3:22$%.

(11 Май '14 2:29) cartesius

По-моему я запутался... Не понятно почему "площадь AKD равна 8x" и "вместе с 3x получается 33x/8" из вашего предыдущего сообщения.

(11 Май '14 20:37) Snaut

@Dr_Snaut: из того, что BK:KD=3:8, следует, что отношение площадей треугольников $%ABK$% и $%AKD$% точно такое же. Поэтому площади можно считать равными $%3x$% и $%8x$%. Площадь $%BKM$% при этом равна $%(\frac38)^2\cdot8x=9x/8$%. Прибавляя это число к $%3x$%, получаем $%9x/8+3x=33x/8$%. Это не что иное как площадь $%ABM$% (сумма площадей $%ABK$% и $%BKM$%).

(11 Май '14 20:45) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×760

задан
10 Май '14 16:48

показан
2275 раз

обновлен
11 Май '14 20:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru