Объявляю конкурс на лучшее определение понятия "дифференциал независимой переменной".

Пояснение. Это понятие только кажется простым, на самом у него есть много разных интерпретаций. Например, в физике это просто достаточно малая величина, которая часто имеет ограничение не только сверху, но и снизу (я уже приводил пример распределения температуры в среде, аналогичная ситуация с давлением, плотностью и т.д.). Хотелось бы услышать мнения, как наиболее корректно определить понятие дифференциала независимой переменной в матанализе?

Дополнение для DocentI. Т.к. лимит комментариев исчерпан, пишу здесь. Я прекрасно знаю содержание учебников матана, я сам все это читаю. Если бы там содержался ответ на мой вопрос, я бы его не задавал. В матане совершенно четко и строго определены понятия "предел" и "производная", здесь даже нечего обсуждать. Понятие "дифференциал функции" тоже можно считать определенным, если определено понятие "дифференциал независимой переменной", т.е. dx. Но вот вопрос о том, что такое $%dx$%, во всех учебниках элегантно обходится. Cчитать, что $% dx = \Delta x $% нельзя, потому что тогда запись для производной $%\grave{f}(x)=\frac{df}{dx}$% становится не верной, т.к. $%\frac{\Delta f}{\Delta x}\neq \frac{df}{dx}$% и, тем более, $%\frac{d f}{\Delta x}\neq \frac{df}{dx}$% !

Дополнение 2 для DocentI. Определение типа "поставим в соответствие каждой точке $%x$% функции $%f(x)$% линейную функцию $%\tilde{f}(\Delta x)$% и назовем саму такую функцию дифференциалом функции $%df$%, а ее аргумент - дифференциалом независимой переменной $%dx$%" было бы хорошо, если бы нам не нужно было интегрировать. Но как такое определение соотнести с интегралом $%\int_{a}^{b}f(x)dx$% ? Ведь это предел интегральных сумм!

Я жду ответ на вопрос в виде "Дифференциал независимой переменной $%dx$% - это ...", где вместо точек стоит математическое определение.

Дополнение 3 для DocentI. Рождение раздела математики под названием Математический анализ произошло практически одновременно в двух близких, но все-таки различных формах - Ньютона и Лейбница. У Ньютона все формулировалось через пределы, у Лейбница - через бесконечно малые, как самостоятельные сущности. И обе эти интерпретации всегда сосуществовали. Во второй половине 20 века в теоретической математике прочно утвердилась Ньютоновская интерпретация, которую Вы блестяще изложили в своем ответе. Но во многих более прикладных облестях, в частности в физике, всегда больше склонялись к подходу Лейбница. Возьмите любой учебник общей физики, как там выводится практически любое дифференциальное уравнение? Что-то типа "выделим параллелепипед $%dxdydz$% и подсчитаем количество частиц в нем" и т.д. Но в этом случае $%dx,dy,dz$% не могут быть любыми! Они дожны быть достаточно малыми (но не совсем, а так, чтобы достаточное количество частиц туда бы все-таки поместилось)! Меня, между прочим, еще в студенческие годы очень удивляло это идеологическое противоречие между математикой и физикой. Нужно сказать, что Лейбнецевский подход все-таки нет-нет, но проявлялся в математике. Например, трансфинитные числа можно рассматривать как "обратные бесконечно малые". Сейчас на основе Лейбнецевского подхода развивается нестандарнный анализ.В общем, дуализм в самом-самом основании математического анализа имеет место, я просто хотел это подчеркнуть и, возможно, увидеть какие-то интересные идеи на этот счет.

Дополнение 4 (для DocentI). Да, аксиома Архимеда для бесконечно малых не выполняется, но ведь в математике сейчас известно достаточно много неархимедовых полей. Вопрос, конечно, куда деть бесконечно малые на числовой прямой? Между действительными числами они не поместятся - там все плотно. Если считать, что они в ортогональном направлении "утолщают" прямую - нелогично, т.к. они должны легко превращаться в действительные приращения. Единственный вариант - считать, что они входят в структуру действительного числа, т.е. являются элементами внутренней структуры точки. Весьма экзотично - но ничему не противоречит.

задан 2 Апр '12 20:22

изменен 20 Дек '12 14:20

Какой будет приз?

(3 Апр '12 15:48) Anatoliy

Гран-при 25 баллов, 1-й приз 10 баллов (+ призы зрительских симпатий).

(3 Апр '12 16:55) Андрей Юрьевич

Не понимаю, почему $%\frac {df}{\Delta x}\ne \frac {df}{dx}$%? Что этому мешает? То, что $%\frac {\Delta f}{\Delta x}\ne \frac {df}{dx}$%, конечно, верно, т.к. как равенство $%\Delta f=df$% верно только для линейных функций f. В определенном интеграле величину dx можно рассматривать просто как значок. Но лучше - как (внешнюю) дифференциальную форму. В последнем случае интеграл будет второго рода.
Ну а форма - это просто линейная комбинация независимых величин, в данном случае - переменных dx, dy, ..., для кратных и поверхностных интегралов.

(3 Апр '12 20:24) DocentI

В определенном интеграле dx - это, по сути "наследие" значка $%\Delta x$% из интегральной суммы и обозначает ту меру, по которой берется интеграл (длину). Я обычно в теории его опускаю, не пишу.
Другое дело, что в определенном интеграле объединяются интегралы первого (от функции) и второго (от диф. формы) рода. Но в дифференциальной форме dx - это тоже произвольное число.

(3 Апр '12 20:30) DocentI

Не знаю, где Вы нашли такие учебники, в которых "вопрос о том, что такое dx, элегантно обходится". В моих учебниках он определяется (так, как я это написала). Даже запрос в гугл сразу дал несколько ссылок именно с таким определением (произвольное число). Я так и говорю студентам и никогда никаких проблем не возникало!

(3 Апр '12 20:36) DocentI

Спасибо, Ваша точка зрения понятна, хотя я могу с ней согласиться только частично. Я напишу свои соображения в ответе, но пока подожду - может быть, еще кто-нибудь откликнется?

(4 Апр '12 16:43) Андрей Юрьевич

Дуализм в мат. анализе, может, и присутствует, но на данный момент "Ньютон" сильно превосходит "Лейбница". Для построения непротиворечивой и работающей теории вполне достаточно стандартного анализа. Нестандартный в теоретическом плане порождает кучу проблем. Главным образом - нарушение аксиомы Архимеда.
То, что физики обращаются с математическими понятиями вольно - это давно известно. Взять хотя бы дельта-функцию. Но для математиков это только повод жестче следить за своей логикой, чтобы не дать физикам наломать больших дров. )))

(20 Дек '12 1:15) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

А чем не устраивает определение, что это произвольное число, не зависящее от других переменных? Матан - не физика, здесь конечными dx не обойдешься.

Дополнение о производной. Производная - это предел. В каждой точке это конкретное число. Например, рассмотрим функцию $%x^2$% в окрестности точки 2. Имеем $$x^2=(2+x-2)^2=(2 + \Delta x)^2=4+4\Delta x + (\Delta x)^2.$$ Если $%\Delta x$% стремится к 0, то последнее слагаемое есть $%o(\Delta x)$%. Поэтому $%\Delta f=4\Delta x+o(\Delta x)$%. Значит, 4 - производная функции $%x^2$% в точке 2, а $%4\Delta x =4dx$% - ее дифференциал. Таким образом, производная - это коэффициент пропорциональности между $%df$% и $%dx$%. Он зависит только от x, но не от $%dx$%.

Дело в том, что приращение функции и ее дифференциал мало отличаются друг от друга, только если $%dx$% стремится к 0. Что совершенно не мешает нам рассматривать $%df$% и при произвольных, совсем не малых значениях dx.

alt text

Дополнение об интеграле. Определенный интеграл - это объект, совмещающий в себе два типа интеграла: интеграл по отрезку от функции f(x) по мере (длине) и интеграл по направленному отрезку от дифференциальной формы f(x)dx.
В первом случае dx - это просто значок, своего рода "закрывающая скобка" для интеграла. Его можно и не писать. Правда, он удобен в формулах замены переменной и интегрирования по частям, т.к. первый дифференциал (в отличие от производной) инвариантен. Собственно, именно для этого $%\Delta x$% обозначают $%dx$%.
В интеграле второго рода стоит внешняя дифференциальная форма. Но форма - это линейная функция от своих аргументов, а аргументом этой формы являются dx (и dy, dz при необходимости). Ну, а аргументы - это всегда просто переменные, произвольные числа.
Например, квадратичная форма имеет вид $%Q(x, y)=ax^2 + 2bxy + cy^2 $%. И каков смысл x, y? Это произвольные числа. Аналогичный смысл dx, dy, например, во втором дифференциале: $%d^2z=adx^2+2bdxdy+cdy^2$%, где a, b и c - вторые частные производные.
Немного другой вид имеет внешняя дифференциальная форма, так как в ней используется внешнее (косое, антисимметричное) умножение. $%\omega=fdx\bigwedge dy$%, где $%dx\bigwedge dy = - dy\bigwedge dx$%.Но все равно в такой форме dx, dy - переменные, т.е. произвольные числа. Такое произведение соответствует также )относительной) площади прямоугольника со сторонами dx, dy. Т.е. это, по сути, значок, указывающий на ту (относительную) меру, по которой берется интеграл.
В чем это мешает определению интеграла через интегральную умму? Это просто удобный, информативный знак!

ссылка

отвечен 2 Апр '12 22:46

изменен 3 Апр '12 20:54

Что значит произвольное число? Например, 1, или 100, или 1000?

(2 Апр '12 23:32) Андрей Юрьевич

Да. Или 0,1; -0,02; -100. Любое.

(3 Апр '12 0:08) DocentI

И это дифференциал?! Я же говорю не о приращении, а о дифференциале!

(3 Апр '12 0:17) Андрей Юрьевич

И что? По определению для независимой переменной $%dx = \Delta x$% и ничему это не мешает! Вообще не понимаю проблемы.

(3 Апр '12 8:37) DocentI

Тогда, что означает запись: производная функции f(x) в точке x равна df/dx ?

Что производная это (f(x+1000)-f(x))/1000 = (f(x+0.1)-f(x))/0.1 = ... ?!

(3 Апр '12 13:13) Андрей Юрьевич

у Вас в числителях стоят приращения, а не дифференциалы!

(3 Апр '12 13:51) DocentI

Так я ведь и спрашиваю, что такое дифференциал! Что такое приращение, объяснять не надо, тут не может быть никаких разночтений. Что такое производная, как предел отношения приращений, тоже понятно. Я ведь спросил, что такое именно dx ?

(3 Апр '12 14:02) Андрей Юрьевич

Дифференциал независимой переменной - произвольное число, не зависящее ни от чего. Может быть и маленьким, и большим - любым. Дифференциал функции - это линейная однородная функция от dx, которая отличается от приращения величиной, малой по сравнению с dx. Т.е. этот остаток мал, когда $%dx \to 0$%. Но нам совершенно не обязательно устремлять dx к 0!

(3 Апр '12 14:05) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

In calculus, a differential is traditionally an infinitesimally small change in a variable. Это в википедии написано. Дифференциал независимой переменной - её бесконечно малое изменение. Чем оно плохо?

ссылка

отвечен 2 Апр '12 23:42

1

А что это такое "бесконечно малое изменение"?

(3 Апр '12 0:02) Андрей Юрьевич

Ну, это простительно только Википедии, да и то не очень. Бесконечно малые величины изучаются разве что в Нестандартном анализе. Но он, кажется, так и не получил распространения...

(3 Апр '12 0:09) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Дифференциал независимой переменной (величины) - это элемент несчётного множества, используемый при анализе функций в математике и прикладных науках

ссылка

отвечен 3 Апр '12 20:59

Вы как всегда, туманны! Какого множества? Как используемый?

(3 Апр '12 22:50) DocentI

Какого множества? - Несчётного: их, в принципе, пока только два. Понятие дифференциала давно известно, зачем повторяться, как и для чего дифференциал используется. Название лекарства и способ его применения - это разные вещи. Автором объявлен конкурс на лучшее определение понятия. Разве я предложил что-то такое, что не соответствует требованиям логики ответа?

(5 Апр '12 21:04) nikolaykruzh...

То есть как два? Несчетных множеств? Или одно счетное и одно несчетное?
Несчетных множеств по крайней мере несчетное количество.

Вы предложили что-то такое, что не соттветствует никакой логике. Не стоит Вам браться за определения, они с Вами явно не дружат...

(5 Апр '12 22:29) DocentI

Спасибо за совет. Постараюсь учесть.

(6 Апр '12 13:13) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,562

задан
2 Апр '12 20:22

показан
5537 раз

обновлен
20 Дек '12 14:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru