математический-анализ - Дифференциал независимой переменной.

Объявляю конкурс на лучшее определение понятия "дифференциал независимой переменной".

Пояснение. Это понятие только кажется простым, на самом у него есть много разных интерпретаций. Например, в физике это просто достаточно малая величина, которая часто имеет ограничение не только сверху, но и снизу (я уже приводил пример распределения температуры в среде, аналогичная ситуация с давлением, плотностью и т.д.). Хотелось бы услышать мнения, как наиболее корректно определить понятие дифференциала независимой переменной в матанализе?

Дополнение для DocentI. Т.к. лимит комментариев исчерпан, пишу здесь. Я прекрасно знаю содержание учебников матана, я сам все это читаю. Если бы там содержался ответ на мой вопрос, я бы его не задавал. В матане совершенно четко и строго определены понятия "предел" и "производная", здесь даже нечего обсуждать. Понятие "дифференциал функции" тоже можно считать определенным, если определено понятие "дифференциал независимой переменной", т.е. dx. Но вот вопрос о том, что такое $%dx$%, во всех учебниках элегантно обходится. Cчитать, что $% dx = \Delta x $% нельзя, потому что тогда запись для производной $%\grave{f}(x)=\frac{df}{dx}$% становится не верной, т.к. $%\frac{\Delta f}{\Delta x}\neq \frac{df}{dx}$% и, тем более, $%\frac{d f}{\Delta x}\neq \frac{df}{dx}$% !

Дополнение 2 для DocentI. Определение типа "поставим в соответствие каждой точке $%x$% функции $%f(x)$% линейную функцию $%\tilde{f}(\Delta x)$% и назовем саму такую функцию дифференциалом функции $%df$%, а ее аргумент - дифференциалом независимой переменной $%dx$%" было бы хорошо, если бы нам не нужно было интегрировать. Но как такое определение соотнести с интегралом $%\int_{a}^{b}f(x)dx$% ? Ведь это предел интегральных сумм!

Я жду ответ на вопрос в виде "Дифференциал независимой переменной $%dx$% - это ...", где вместо точек стоит математическое определение.

Дополнение 3 для DocentI. Рождение раздела математики под названием Математический анализ произошло практически одновременно в двух близких, но все-таки различных формах - Ньютона и Лейбница. У Ньютона все формулировалось через пределы, у Лейбница - через бесконечно малые, как самостоятельные сущности. И обе эти интерпретации всегда сосуществовали. Во второй половине 20 века в теоретической математике прочно утвердилась Ньютоновская интерпретация, которую Вы блестяще изложили в своем ответе. Но во многих более прикладных облестях, в частности в физике, всегда больше склонялись к подходу Лейбница. Возьмите любой учебник общей физики, как там выводится практически любое дифференциальное уравнение? Что-то типа "выделим параллелепипед $%dxdydz$% и подсчитаем количество частиц в нем" и т.д. Но в этом случае $%dx,dy,dz$% не могут быть любыми! Они дожны быть достаточно малыми (но не совсем, а так, чтобы достаточное количество частиц туда бы все-таки поместилось)! Меня, между прочим, еще в студенческие годы очень удивляло это идеологическое противоречие между математикой и физикой. Нужно сказать, что Лейбнецевский подход все-таки нет-нет, но проявлялся в математике. Например, трансфинитные числа можно рассматривать как "обратные бесконечно малые". Сейчас на основе Лейбнецевского подхода развивается нестандарнный анализ.В общем, дуализм в самом-самом основании математического анализа имеет место, я просто хотел это подчеркнуть и, возможно, увидеть какие-то интересные идеи на этот счет.

Дополнение 4 (для DocentI). Да, аксиома Архимеда для бесконечно малых не выполняется, но ведь в математике сейчас известно достаточно много неархимедовых полей. Вопрос, конечно, куда деть бесконечно малые на числовой прямой? Между действительными числами они не поместятся - там все плотно. Если считать, что они в ортогональном направлении "утолщают" прямую - нелогично, т.к. они должны легко превращаться в действительные приращения. Единственный вариант - считать, что они входят в структуру действительного числа, т.е. являются элементами внутренней структуры точки. Весьма экзотично - но ничему не противоречит.