Найдите все значения параметра а, при которых система $$\begin{cases}log_{a}{}\sqrt{y+1}=(x^2-6x)^2\\x^2+y=6x\end{cases}$$ имеет 4 решения

задан 10 Май '14 20:43

10|600 символов нужно символов осталось
1

Равносильная система: $$\begin{cases}\log_a\sqrt{y+1}=y^2,\\ y=6x-x^2.\end{cases}$$ Из второго уравнения видно, что каждому $%y$% может соответствовать два различных значения $%x$%, если $%y<9$%, и одно значение $%x=3$%, если $%y=9$% (не устраивает, т.к. не даст 4 решения). Случай, когда $%y>9$% нас также не устроит ввиду отсутствия решений. Таким образом, нам нужно, чтобы уравнение $$\log_a\sqrt{y+1}=y^2$$ имело 2 решения меньше 9.

При $%0< a<1$%, пусть $%h(y)=\log_a\sqrt{y+1}-y^2$%. Тогда $%h'=\frac{1-4y(y+1)\ln a}{2(y+1)\ln a}$%. Приравниваем производную к нулю: $%4\ln a\cdot y^2+4\ln a\cdot y-1=0$%. Находим дискриминант: $%D/4=4\ln a(\ln a+1)$%. Он положителен, если $%\ln a+1<0$%, т.е. $%a<1/e$%.

Тогда при $%1/e\leqslant a<1$% производная $%h'$% отрицательна на $%(-1;0)$%, то есть $%h(y)$% убывает и достигает своего минимума при $%y=0$%: $%h(0)=0$%, поэтому на промежутке $%(-1;0)$% решений нет.

При $%0< a<1/e$% мы имеем локальный минимум функции $%h(y)$% в точке $%y_1=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\ln a+1}{\ln a}}$% и локальный максимум при $%y_2=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\ln a+1}{\ln a}}$%. Ясно, что $%h(y_2)> 0$%, поскольку при приближении к нулю функция убывает, а $%h(0)=0$%. Посмотрим знак $%h(y_1)$%. Точнее, нам нужно, чтобы $%h(y_1)=0$%, т.к. в противном случае мы получим либо 2 решения на $%(-1;0)$%, либо ни одного.

Т.о. мы пришли к уравнению относительно $%a$%: $$(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\ln a+1}{\ln a}})^2\ln a=\ln\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\ln a+1}{\ln a}}}.$$

Пусть $%\sqrt{\frac{\ln a+1}{\ln a}}=t$%. При рассматриваемых значениях $%a$% имеем $%0< t<1$%, откуда $$1/2+\ln 2=1/(1-t)+\ln(1-t).$$

Заметим, что функция $%s(u)=1/u+\ln u$% на интервале $%(0;1)$% убывает, причем $%1/2+\ln 2> s(1)$%, поэтому существует единственное решение уравнения $%1/2+\ln 2=1/(1-t)+\ln(1-t)$% на искомом интервале. Обозначим его через $%t_0$%, тогда $%a=e^{1/(t_0^2-1)}$%.

Пусть $%a>1$%, тогда одно решение $%y=0$% и нам нужно, чтобы было второе решение меньшее 9. Это будет достигнуто тогда и только тогда, когда $%f(y)=\log_a\sqrt{y+1}$% в точке $%y=9$% меньше $%g(y)=y^2$% в той же точке. То есть $$\log_a\sqrt{10}<81.$$ Откуда $%a>10^{1/162}$%.

ссылка

отвечен 10 Май '14 21:18

изменен 11 Май '14 1:49

1

@cartesius: откуда следует справедливость неравенства $%\log_a\sqrt{y+1} > y^2$% при $%y\in(-1;0)$%?

(10 Май '14 22:37) falcao

@cartesius: по-моему, там что-то сложное возникает. При разных значениях $%a$% графики могут не пересекаться, могут пересекаться в нескольких точках, а "критическое" значение, когда пересечение всего одно, там будет корнем какого-то "нерешаемого" иррационального уравнения. Если выразить $%a$% через $%y$%, то получается функция с "плохим" экстремумом.

(11 Май '14 0:33) falcao

Да, что-то нехорошее. Метод "в лоб" явно не годится.

(11 Май '14 1:50) cartesius

при а∈(0;1) по графикам z=a^(y^2) и z=(y+1)^0.5 очевидно, что есть два решения на (-1;0). или я ошибаюсь?

(11 Май '14 23:29) make78

также при а>1 очевидно есть одно решение y=0. второе решение следует из того факта, что производная z=a^(y^2) равна 0 при y=0, а производная z=(y+1)^0.5 равна 0.5 при y=0.

(11 Май '14 23:32) make78

Я зря свой комментарий удалила. Мы это уже обсуждали - при исследовании получается все более сложно, т.к. первая функция может иметь точки перегиба (или не иметь), а значит, нельзя однозначно определить количество решений.

(11 Май '14 23:35) cartesius

@make78: Поисследуйте - увидите, что там не все так хорошо, как кажется.

(11 Май '14 23:36) cartesius

@make78: Впрочем, может, я ошибаюсь - тогда укажите ошибку в моих рассуждениях. Или приведите свое.

(11 Май '14 23:47) cartesius

@cartesius: Взяв вторые производные, понял, о чем вы говорите.

(12 Май '14 1:00) make78
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×535
×320
×116

задан
10 Май '14 20:43

показан
1339 раз

обновлен
12 Май '14 1:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru