Каждое ли целое число можно представить в виде сумма кубов нескольких целых чисел среди которых нет одинаковых?

задан 11 Май '14 9:04

Если я правильно понял вопрос, то нет. Существует множество контрпримеров: 2,3,4,5,6,7,10,11,...

(11 Май '14 10:22) aid78

@aid78: я думаю, тут всё сложнее, потому что можно использовать и кубы отрицательных чисел.

(11 Май '14 13:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Да, можно.

Достаточно научиться представлять единицу в виде суммы кубов попарно различных целых чисел, принимающих по модулю сколь угодно большие значения. Тогда произвольное натуральное число $%n$% сначала представим в виде $%n$% единиц, а затем каждую из единиц поочерёдно запишем как сумму кубов, выбирая каждое следующее представление так, чтобы модули участвующих в нём чисел превышали модули уже использованных ранее чисел. Для представления отрицательных чисел просто поменяем знаки, а $%0$% представляется как $%0^3$%. Если нужно, чтобы число слагаемых было больше одного, то можно записать $%0$% как $%1^3+(-1)^3$%, или как $%6^3+(-5)^3+(-4)^3+(-3)^3$%.

Справедливо следующее тождество, легко проверяемое непосредственным раскрытием скобок: $%12n+6=(n+2)^3-(n+1)^3-n^3+(n-1)^3$%. Оно означает, что всякое число, дающее при делении на 12 остаток 6, можно представить в виде суммы кубов, причём для натурального $%n$% все возводимые в куб числа будут разными. Поскольку число $%5^3=125$% при делении на 12 даёт в остатке 5, это же будет верно для всех чисел вида $%12k+5$%, где $%k$% целое. Тогда число $%1+(12k+5)^3$% будет иметь вид $%12n+6$%, где $%n=144k^3+180k^2+75k+10$%. Выбирая $%k$% достаточно большим, мы получим представление единицы в виде суммы кубов попарно различных чисел со сколь угодно большими модулями: $%1=(-12k-5)^3+(n+2)^3+(-n-1)^3+(-n)^3+(n-1)^3$%.

ссылка

отвечен 11 Май '14 15:56

изменен 11 Май '14 15:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×917

задан
11 Май '14 9:04

показан
1793 раза

обновлен
11 Май '14 15:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru