Как разложить в Тейлора в окрестности $%z=0$%: $$e^z \cdot sinz$$ Я расписала синус через экспоненту, однако с ответом не сошлось. Не понятно откуда в ответе получается один из множителей $%sin(pi \cdot n/4)$%

задан 11 Май '14 21:53

изменен 12 Май '14 23:15

Deleted's gravatar image


126

1

@Яська, будет лучше, если Вы запишете Ваш ответ. Возможно, просто разные записи используете, т.к. если раскладывать синус через экспоненту, то возникают коэффициенты, которые по формуле Муавра можно выразить через тригонометрическую функцию. Как раз там вылазят Ваши синусы.

(11 Май '14 21:59) cartesius

Я поняла, что неправильно делаю, так как должен получиться рациональный ряд, а у меня мнимая часть есть. Как нужно решать эту задачу, если не через экспоненту

(11 Май '14 22:25) Яська

По-моему, там и через экспоненту все получается. Детали уже не помню, но коэффициенты при $%z^n$% похожи на $%1/(2i)((1+i)^n-(1-i)^n)$% (и где-то там $%n!$%). После применения формул Муавра косинусы сокращаются, должно остаться что-то похожее на $%2^{n/2}\sin (\pi n/4)$%.

(11 Май '14 23:00) cartesius

@Яська: там рациональный ряд и получается, но ответ в одной из форм может содержать мнимые величины, которые далее сокращаются. Простой пример: последовательность $%i^n+(-i)^n$% -- это 0, -2, 0, 2, и далее с периодом 4. Такие вещи могут быть эквивалентным образом представлены через синусы. Это всё делается тождественными преобразованиями. Вполне возможно, что у Вас всё правильно -- просто записано по-другому. Та последовательность, пример которой я привёл, по-другому записывается как $%2\cos\frac{\pi n}2$%.

(11 Май '14 23:03) falcao

а как преобразовать через косинусы и синусы?-перебирая значения и подыскав закономерность? Просто я знаю формулы Муавра для возведения в степень и извлечения корня

(12 Май '14 18:17) Яська

@Яська: можно и формулой Муавра воспользоваться -- тогда степени чисел $%1\pm i$% выразятся в нужной форме, и получатся косинусы или синусы. Можно и подбором найти требуемое выражение, проверив его для нескольких значений, и далее опираясь на периодичность. Первый из способов выглядит лучше.

(12 Май '14 18:25) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×63

задан
11 Май '14 21:53

показан
627 раз

обновлен
12 Май '14 18:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru