ряд-тейлора - Как разложить в Тейлора в окрестности?

@Яська, будет лучше, если Вы запишете Ваш ответ. Возможно, просто разные записи используете, т.к. если раскладывать синус через экспоненту, то возникают коэффициенты, которые по формуле Муавра можно выразить через тригонометрическую функцию. Как раз там вылазят Ваши синусы.

Я поняла, что неправильно делаю, так как должен получиться рациональный ряд, а у меня мнимая часть есть. Как нужно решать эту задачу, если не через экспоненту

По-моему, там и через экспоненту все получается. Детали уже не помню, но коэффициенты при $%z^n$% похожи на $%1/(2i)((1+i)^n-(1-i)^n)$% (и где-то там $%n!$%). После применения формул Муавра косинусы сокращаются, должно остаться что-то похожее на $%2^{n/2}\sin (\pi n/4)$%.

@Яська: там рациональный ряд и получается, но ответ в одной из форм может содержать мнимые величины, которые далее сокращаются. Простой пример: последовательность $%i^n+(-i)^n$% -- это 0, -2, 0, 2, и далее с периодом 4. Такие вещи могут быть эквивалентным образом представлены через синусы. Это всё делается тождественными преобразованиями. Вполне возможно, что у Вас всё правильно -- просто записано по-другому. Та последовательность, пример которой я привёл, по-другому записывается как $%2\cos\frac{\pi n}2$%.

а как преобразовать через косинусы и синусы?-перебирая значения и подыскав закономерность? Просто я знаю формулы Муавра для возведения в степень и извлечения корня