Помогите пожалуйста очень нужно решить неравенство: 2log5(x^2-5x)/log5(x^2) ≤1

задан 12 Май '14 13:59

10|600 символов нужно символов осталось
2

Выражение в знаменателе можно записать как $%2\log_5|x|$%, после чего двойки сокращаются. Получается $$\frac{\log_5(x^2-5x)}{\log_5|x|}\le1.$$ Выполняются следующие условия: $%x(x-5) > 0$%, то есть $%x\in(-\infty;0)\cup(5;+\infty)$%, а также $%|x|\ne1$%.

Рассмотрим два случая, в зависимости от которых знаменатель будет положителен или отрицателен.

1) $%|x| > 1$%. Знаменатель положителен, и неравенство можно на него домножить. Далее избавляемся от логарифмов (с учётом возрастания логарифмической функции), получая $%x^2-5x\le|x|$%. Возникает два подслучая, в зависимости от которых по-разному раскрывается модуль.

Для положительных $%x$% (у нас это $%x > 5$%) получается $%x^2-5x\le x$%, что даёт $%x\le6$% и промежуток $%x\in(5;6]$% как часть ответа. Для отрицательных $%x$% (это $%x < -1$%) имеем $%x^2-5x\le-x$%, то есть $%x(x-4)\le0$%. Легко видеть, что это не так: оба сомножителя отрицательны.

2) $%|x| < 1$%. Здесь можно сразу считать, что $%-1 < x < 0$% с учётом упомянутых выше ограничений. Неравенство принимает вид $%x^2-5x\ge|x|$% после домножения на отрицательное число в знаменателе и после устранения логарифмов. Модуль раскрывается со знаком минус, то есть $%x(x-4)\ge0$%. Это верно ввиду отрицательности обоих сомножителей. Весь интервал $%x\in(-1;0)$% войдёт в ответ.

Осталось объединить то, что было найдено, и получится окончательный ответ $%x\in(-1;0)\cup(5;6]$%.

ссылка

отвечен 12 Май '14 15:04

10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

ссылка

отвечен 12 Май '14 15:53

изменен 12 Май '14 15:57

Учусь вставлять картинки

(12 Май '14 16:20) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×312

задан
12 Май '14 13:59

показан
5805 раз

обновлен
12 Май '14 16:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru