Дана прямоугольная трапеция $%ABCD$% с основаниями $%BC < AD$% и $%\angle BCD=90^{\circ}$%. Точка $%M$% - середина $%CD$%. Известно, что окружность радиуса $%5$% проходит через точки $%A$% и $%B$% и касается стороны $%CD$% в точке $%M$%, а $%\cos \angle BMC = \frac{2\sqrt{2}}{3}$%. Найдите $%AB,BC$%, а также площадь трапеции.

задан 12 Май '14 14:01

изменен 12 Май '14 23:16

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Центр $%O$% окружности лежит на серединном перпендикуляре к $%AB$%, и он же лежит на перпендикуляре к $%CD$%, проходящем через $%M$%, а это средняя линия. Значит, $%O$% -- середина $%AB$%, откуда $%AB=10$%. Длина средней линии равна $%OM=5$%.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $%BOM$%. В нём синус угла при основании равен косинусу угла $%BMC$%, так как вместе они составляют 90 градусов. Значит, синус этого угла равен $%\frac13$%, откуда основание $%BM=2\cdot5\cdot\frac13=\frac{10}3$%. Умножая на синус угла $%BMC$%, получаем $%BC=\frac{10}9$%.

Умножая $%BM$% на косинус угла $%BMC$%, получаем $%CM=\frac{20\sqrt2}9$%. Высота $%CD$% вдвое больше, и после умножения на длину средней линии получается площадь $%S=\frac{200\sqrt2}9$%.

ссылка

отвечен 12 Май '14 14:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×760

задан
12 Май '14 14:01

показан
461 раз

обновлен
12 Май '14 14:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru