ряды - Найти области сходимости и абсолютной сходимости функционального ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9^n}{n}x^{2n}\sin(x+xn)$$

При замене $%x$% на $%-x$% свойства сходимости не меняются. При $%x=0$% ряд состоит из нулевых членов. Исследуем, что будет при $%x > 0$%.

Прежде всего, если $%x < \frac13$%, то ряд мажорируется (по модулю) сходящейся геометрической прогрессией со знаменателем $%9x^2 < 1$%. Из этого вытекает абсолютная сходимость.

Очевидно также, что если $%x=\pi k$%, где $%k$% целое, то все члены ряда нулевые. Далее будем считать, что $%\frac{x}{\pi}\notin{\mathbb Z}$%.

Пусть $%x=\frac13$%. Здесь получается ряд $%\sum_n\frac1n\sin\frac{n+1}3$%, сходящийся по признаку Дирихле. Равномерная ограниченность частичных сумм вида $%\sin x+\sin2x+\cdots+\sin nx$% выводится из известной формулы. При этом ряд не будет сходиться абсолютно, что будет установлено ниже.

Если частное $%\frac{x}{\pi}$% иррационально, то точки вида $%(n+1)x$% равномерно распределены на окружности. Это стандартный факт, который легко выводится из принципа Дирихле. При этом найдётся бесконечно много значений $%n$%, для которых синус числа $%(n+1)x$% превосходит заданную положительную константу $%k$%. При $%x > \frac13$% это даст бесконечно много членов ряда, больших 1 (за счёт того, что экспонента с показателем $%9x^2$% растёт быстрее линейной функции). Такие ряды расходятся.

Если частное $%\frac{x}{\pi}$% рациональное, но не целое, то среди точек на единичной окружности, соответствующих углам вида $%(n+1)x$%, получается периодическое расположение, выходящее за пределы значений, кратных $%\pi$%. Каждое значение принимается бесконечно много раз, поэтому далее действует предыдущих аргумент насчёт бесконечного множества значений $%n$%, для которых синус числа $%(n+1)x$% превосходит заданную положительную константу.

Теперь приведём обоснование того факта, что при $%x=\frac13$% ряд не будет сходиться абсолютно. Окружим точки $%0$% и $%\pi$% маленькими окрестностями -- скажем, радиуса $%1/10$%. Тогда, если точка $%\frac{n+1}3$% попала в такую окрестность, то следующая точка $%\frac{n+2}3$%, получаемая прибавлением угла $%1/3$% радиана, уже будет находиться вне построенных окрестностей, и синус такого угла по модулю будет больше положительной константы $%k=\sin\frac1{10}$%. Тогда ряд из модулей будет "содержать" ряд, который является "частью" гармонического ряда, с точностью до множителя $%k$%, в котором членов достаточно "много". Последнее означает, что среди двух соседних членов хотя бы один будет присутствовать. Такой ряд будет расходиться, как и гармонический.