|
При каких $%a$% система имеет ровно два решения? $$\begin{cases}x^2+y^2=2a, \\ xy= a - 1/2 \end{cases}$$ задан 12 Май '14 18:02 
student |
|
Вместе с каждым решением $%(x;y)$% система также имеет решения $%(-x;-y)$%, $%(y;x)$%, $%(-y;-x)$%. Поскольку решений только два, среди трёх последних имеются совпадения. При этом либо $%x=y$%, либо $%x=-y$%. Первый вариант невозможен, так как при нём $%x^2=a=a-\frac12$%. Если же решение имеет вид $%(x;-x)$%, то $%x^2=a=\frac12-a$%, то есть $%a=\frac14$%. Проверим, что в этом случае решений ровно два. Из $%x^2+y^2=\frac12$% и $%xy=-\frac14$% следует, что $%(x+y)^2=0$%, то есть $%y=-x$%. После этого получается, что $%x^2=\frac14$%, и решениями будут $%(\frac12;-\frac12)$% и $%(-\frac12;\frac12)$%. отвечен 12 Май '14 18:22 
falcao |