тригонометрия - Найти значения параметра, при котором решения уравнения образуют арифметическую прогрессию

$$2\cos^2x+2a\cos x+|2a+1|-3=0$$ Пусть $%t=\cos x$%, тогда уравнение имеет решение, если существует решение уравнения $$2t^2+2at+|2a+1|-3=0$$ на отрезке $%[-1;1]$%. Пусть последнее уравнение имеет два решения $%t_1\neq t_2$%, тогда нетрудно видеть, что решения уравний $%\cos x=t_1$% и $%\cos x=t_2$% отстоят друг от друга на равные промежутки только если

1. $%t_{1,2}=\pm\sqrt{2}/2$%. Этот вариант невозможен, т.к. абсцисса вершины параболы равна нулю, а тогда $%a=0$%.
2. $%t_{1,2}=\pm 1$%. $%a=0$%.

Если на отрезке $%[-1;1]$% находится только одно решение $%t_0$%, то $%t_0\in\{-1,0,1\}$%. И либо это кратный корень, либо $%-a-t_0\not\in[-1;1]$% (теорема Виета).

Кратный корень может возникнуть, если $%a^2-2|2a+1|+6=0$%.

1. Пусть $%t_0=0$%, Тогда $%|2a+1|=3$% и кратного корня быть не может. $%-a\not\in[-1;1]$%. Тогда $%a=-2$%.
2. Пусть $%t_0=\pm 1$%, Тогда $%\pm 2a+|2a+1|=1$%. Отсюда получаем, что тогда есть и второе решение.

Ответ: $%a=0$% или $%a=-2$%.