Найти все значения $%a$%, при каждом из которых уравнение:

$%\cos2x+2a\cos x + |2a+1|-2=0$%

имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию

задан 12 Май '14 20:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$2\cos^2x+2a\cos x+|2a+1|-3=0$$ Пусть $%t=\cos x$%, тогда уравнение имеет решение, если существует решение уравнения $$2t^2+2at+|2a+1|-3=0$$ на отрезке $%[-1;1]$%. Пусть последнее уравнение имеет два решения $%t_1\neq t_2$%, тогда нетрудно видеть, что решения уравний $%\cos x=t_1$% и $%\cos x=t_2$% отстоят друг от друга на равные промежутки только если

  1. $%t_{1,2}=\pm\sqrt{2}/2$%. Этот вариант невозможен, т.к. абсцисса вершины параболы равна нулю, а тогда $%a=0$%.
  2. $%t_{1,2}=\pm 1$%. $%a=0$%.

Если на отрезке $%[-1;1]$% находится только одно решение $%t_0$%, то $%t_0\in\{-1,0,1\}$%. И либо это кратный корень, либо $%-a-t_0\not\in[-1;1]$% (теорема Виета).

Кратный корень может возникнуть, если $%a^2-2|2a+1|+6=0$%.

  1. Пусть $%t_0=0$%, Тогда $%|2a+1|=3$% и кратного корня быть не может. $%-a\not\in[-1;1]$%. Тогда $%a=-2$%.
  2. Пусть $%t_0=\pm 1$%, Тогда $%\pm 2a+|2a+1|=1$%. Отсюда получаем, что тогда есть и второе решение.

Ответ: $%a=0$% или $%a=-2$%.

ссылка

отвечен 13 Май '14 2:16

изменен 13 Май '14 2:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×835
×458
×234

задан
12 Май '14 20:44

показан
934 раза

обновлен
13 Май '14 2:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru