2
1

Инспектор ДПС майор Худаков получил указание начальства останавливать те автомобили, трехзначный госномер которых $%n$% удовлетворяет следующим требованиям: если выписать все целые числа от $%1$% до $%n$% и посчитать количество записанных цифр, то получится число, записанное теми же цифрами, что и $%n$%, но в обратном порядке. Сначала майор попробовал выполнять требуемые вычисления для каждого автомобиля в режиме реального времени мелом на асфальте, но мел скоро закончился. Помогите майору определить номера нужных автомобилей

задан 12 Май '14 20:46

изменен 12 Май '14 20:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%n=\overline{abc}$%. Однозначные числа дают 9 цифр, двузначные дают 180, и трёхзначные от 100 до $%n$% включительно дают $%3(n-99)$% цифр. Итого получается $%3n-108$%. Это число равно $%\overline{cba}$%. Получается уравнение $%3(100a+10b+c)-108=100c+10b+a$%. Это значит, что $%299a+20b=108+97c$%.

Сравним остатки от деления обеих частей на 99. Получится, что $%2a+20b+2c-9$% кратно 99. Число $%2a+20b+2c$% чётно и даёт в остатке 9 при делении на 99. Это значит, что оно равно 108, поскольку следующим таким числом будет уже 306, но $%2a+20b+2c\le24\cdot9$% заведомо меньше. Таким образом, $%a+10b+c=54$%. Подстановка в уравнение даёт $%297a+(2a+20b+2c)=108+99c$%, поэтому $%3a=c$% и $%a\le3$%. При этом у нас получается $%2a+5b=27$%, откуда $%a=1$%, $%b=5$%, $%c=3$%. Единственным номером, который полагается остановить, будет $%153$%.

ссылка

отвечен 12 Май '14 23:42

изменен 13 Май '14 0:18

@falcao, В ответе опечатались или я неправильно условие поняла?

(13 Май '14 0:21) cartesius

@cartesius: у меня первоначально было указано 351 в ответе по недосмотру. Я делал проверку, получил 351, а потом это число сразу и вписал.

(13 Май '14 1:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Предположим, что число $%n$% - трехзначное. Тогда если выписать все целые числа от 1 до n и посчитать количество записанных цифр, то получится число $%m=3n-108$%. По условию, если $%n=100x+10y+z$%, где $%x>0,y\geqslant 0, z\geqslant 0$%, то $%m=100z+10y+x$%. Условие $%m=3n-108$% может быть переписано в виде $%396x+20y=97(x+z)+108$%.

Из соотношения $%m=3n-108$% мы видим, что $%m$% делится на $%3$%. Но тогда и $%n$% делится на $%3$%, поскольку состоит из тех же цифр (см. признак делимости на $%3$%). Но тогда $%m$% (а значит и $%n$% ) делится на $%9$%. Это означает, что $%x+y+z$% делится на $%9$%.

Далее заметим, что $%n+m=4n-108$%, поэтому $%n+m$% делится на $%4$%. Посмотрим, что это нам дает в "цифрах". $$n+m=101(x+z)+20y,$$ поэтому $%x+z$% делится на $%4$%. Мы знаем, что $%1\leqslant x+z\leqslant 18$%, откуда $%x+z\in\{4,8,12,16\}$%. Здесь возникает перебор.

Заметим только, что $%396x=97(x+z)+108-20y$% и левая часть делится на $%11$%, поэтому $%x-y+z+1$% также должно делиться на $%11$%.

Если $%x+z=4$%, то $%y=5$%. Подставляя в $%396x+20y=97(x+z)+108$%, получим $%x=1,z=3$%.

Если $%x+z=8$%, то $%y=1$% и $%x-y+z+1=8$% не делится на $%11$%.

Если $%x+z=12$%, то $%y=6$% и $%x-y+z+1=7$% не делится на $%11$%.

Если $%x+z=16$%, то $%y=2$% и $%x-y+z+1=15$% не делится на $%11$%.

Ответ: 153.

Нетрудно видеть, что номера вида $%\overline{00x}$% и $%\overline{0xy}$% не могут быть. Поскольку в первом случае после перестановки возникнет трехзначное число, чего быть не может. Во втором $%m=2n-9$% - нечетное число, хотя перестановка должна быть четной.

ссылка

отвечен 13 Май '14 0:09

изменен 13 Май '14 0:16

@cartesius: а как получился коэффициент 396?

(13 Май '14 0:17) falcao

@cartesius: предыдущий вопрос снимается, так как в правой части уравнения есть 97x, и тогда всё ясно. Я, правда, не уловил мотивировку, в соответствии с которой была выбрана именно такая форма записи, но это уже не принципиально.

(13 Май '14 1:47) falcao

Мотивировка простая: выделить $%x+z$%, которое нам известно, чтобы сразу подставить его значение.

(13 Май '14 2:25) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915

задан
12 Май '14 20:46

показан
779 раз

обновлен
13 Май '14 2:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru