1
1

На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что их центры являются вершинами квадрата.

задан 13 Май '14 0:19

изменен 13 Май '14 21:08

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть $%ABCD$% -- параллелограмм, и пусть $%O$% -- центр квадрата, построенного на стороне $%BC$%. Рассмотрим поворот на угол 90 градусов вокруг точки $%O$%, при котором $%B$% переходит в $%C$%.

Квадраты, построенные на $%AB$% и $%CD$%, обозначим через $%ABB'A'$% и $%CDD'C'$% соответственно. Отрезок $%BB'$% при повороте перейдёт в перпендикулярный отрезок той же длины с началом $%C$%. Этим свойством обладает отрезок $%CD$%. При этом надо обосновать, что получится именно такой отрезок, а не отрезок, лежащий на луче противоположного направления. Использовать при этом надо то, что квадраты построены во внешнюю сторону. Действительно, если вершины параллелограмма перечислены по часовой стрелке, то поворот осуществляется против часовой стрелки. Луч $%BB'$% при этом перейдёт в луч, сонаправленный $%BA$%, а потому и $%CD$%.

Итак, отрезок $%BB'$% перешёл в $%CD$%, а $%BA$% отобразился на $%CC'$%. Тем самым, квадрат, построенный на стороне $%AB$%, перешёл в квадрат, построенный на $%CD$%, и это же верно для их центров $%O_1$% и $%O_2$%. Отсюда следует, что $%OO_1=OO_2$% и $%O_1OO_2$% -- прямой угол. Ввиду того, что сторону параллелограмма мы выбирали произвольно, этого достаточно для доказательства.

ссылка

отвечен 13 Май '14 2:05

Большое спасибо!

(13 Май '14 4:09) Alena
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
13 Май '14 0:19

показан
1221 раз

обновлен
13 Май '14 4:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru