|
$$\\ Уравнение\quad f\left( x \right) =0,\quad где\quad f\left( x \right) -многочлен\quad с\quad действительными\quad коэффициентами\quad степени\quad n,\quad \\ имеет\quad n\quad различных\quad действительных\quad корней.\quad Сколько\quad корней\quad может\quad иметь\quad уравнение\\ f\left( x \right) +\lambda \cdot f^{ \prime }\left( x \right) =0\quad (\lambda -фиксированное\quad число)?$$ задан 3 Апр '12 15:36 
Anatoliy |
|
Докажем что число корней ровно n. При $% \lambda=0 $% это очевидно. При $% \lambda\ne0 $% обозначим корни $% f(x) $% $% x_1 > x_2 > x_3 >...> x_n $% . Tогда $% f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)$% $% f(x)+\lambda f^'(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)+\lambda a(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)+$% $%+\lambda a(x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n)+\lambda a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)...(x-x_n)+...+$% $%+\lambda a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_{n-1}) $% $% f(x)+\lambda f^'(x)=0\Leftrightarrow \frac{\lambda}{a}(f(x)+\lambda f^'(x))=0 $% Уравнение примет вид $%\lambda (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)+\lambda^2(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)+$% $%+\lambda^2(x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n)+\lambda^2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)...(x-x_n)+...+$% $%+\lambda^2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_{n-1})=0$% Обозначим левая часть последного равенства F(x). Функция F(x) определена и непрерывна в R. Легко видеть, что $% F(x_1)>0, F(x_2)<0, F(x_3)>0$% и т.д. Значить между двух соседных корней f(x) функция F(x) имеет хотя бы один ноль. И их количество не меньше n-1. 1) Если n четное число,то $% F(x_1)>0, F(x_n)<0 $%, и поскольку при $% x\rightarrow \pm\infty $%, $% F(x) \rightarrow \infty $% (если $% \lambda>0 $%) и $% F(x) \rightarrow -\infty $%(если $% \lambda<0 $%), значит вне промежутка $%(x_n;x_1)$% есть есть хотя бы еще один ноль F(x). 2)Если n neчетное число,то $% F(x_1)>0, F(x_n)>0 $%, но если $% \lambda>0 $%, при $% x\rightarrow \infty $%, $% F(x) \rightarrow \infty $%,а при $% x\rightarrow -\infty $% $% F(x) \rightarrow -\infty $% ,а если $%\lambda<0 $%, то при $% x\rightarrow \infty $% и $% F(x) \rightarrow -\infty$%,а при $% x\rightarrow -\infty $% и $% F(x) \rightarrow \infty $%, значит вне промежутка $%(x_n;x_1)$% есть еще хотя бы один ноль F(x). И так количество корней F(x)=0 не меньше n,a с другой стороны не больше n (учытивая степень многочлена F(x)).Значит число корней ровно n. отвечен 6 Апр '12 23:30 
ASailyan |
|
Да, похоже, количество корней не изменится. Доказательство(откорректировал в сторону упрощения). 1) Лемма. Пусть, функции $%f(x)$% и $%g(x)$% определены и непрерывны на отрезке [a,b], причем $%f(a)$% и $%f(b)$% имеют разные знаки, а $%g(a)=g(b)=0$%. Тогда функция $%h(x)=f(x)+g(x)$% имеет на [a,b] хотя бы один ноль. Док-во леммы. $%h(x)$% - непрерывная ф-я, на [a,b], знаки $%h(a)$% и $%h(b)$% различны, поэтому $%h(x)$% обращается на [a,b] в ноль. 2) Док-во теоремы. Рассмотрим два последовательных экстремума многочлена $%f(x)$%. Функции $% f(x)$% и $% \lambda\cdot f'(x)$% удовлетворяют на отрезке между экстремумами условию леммы, поэтому их сумма имеет хотя бы один ноль на этом отрезке. Но сам многочлен $%f(x)$% на указанном отрезке имеет единственный ноль, поэтому количество нулей у многочлена $% f(x)+ \lambda\cdot f'(x)$% не меньше, чем у многочлена $% f(x)$%, т.е. не меньше $%n$%. С другой стороны, их и не больше $%n$%, т.к. степень многочлена $%f(x)+\lambda\cdot f'(x)$% равна $%n$%. Поэтому их ровно $%n$%, чтд. отвечен 3 Апр '12 19:21 
Андрей Юрьевич Если между двух экстремумов f(x) функция f(x)+λ⋅f′(x)имеет хотя бы один корень, то количество нулей у многочлена f(x)+λ⋅f′(x) не меньше n-2, потому что число экстремумов не больше n-1.
(6 Апр '12 22:53)
ASailyan
Да, но есть еще точки +бесконечность и -бесконечность, которые тоже выполняют роль "экстремумов", поэтому нужно добавить еще 2 нуля: между -бесконечностью и первым экстремумом и между последним экстремумом и +бесконечностью. Согласен, что про них нужно написать отдельно, но вывод остается в силе.
(7 Апр '12 2:32)
Андрей Юрьевич
И еще надо доказать что число экстремумов точно n-1. Из $%\ f′(x_0)=0$% не следует что $%x_0$% точка экстремума.
(7 Апр '12 10:40)
ASailyan
В данном случае - следует, так как у многочлена нет кратных корней.
(7 Апр '12 13:25)
DocentI
|
|
Производная является многочленом степени n -1, так что сумма $%f(x) +\lambda f'(x)$% имеет степень n. Ясно, что у такого многочлена не может быть более n корней! Вот если исходный многочлен имел менее n действительных корней (хотя бы за счет кратности), то указанная сумма может иметь корней больше. Простейший пример: $%f(x) = x^2$% имеет один корень, а $%f(x) + 1\cdot f'(x) = x^2 +2x$% - уже два. отвечен 3 Апр '12 23:08 
DocentI В условии многочлен степени n с n действительными корнями. Разумеется, у многочлена $%f(x)+\lambda f'(x) $% не может быть корней больше, чем n. Вопрос в том, может ли их быть меньше (т.е. может ли добавление второго слагаемого привести к вырождению)?.
(4 Апр '12 12:53)
Андрей Юрьевич
Да, я невнимательно читала условие.
(4 Апр '12 14:51)
DocentI
|
Очевидно, что при достаточно малой $%\lambda$% корней останется n. Вопрос в том, может ли количество корней быть другим?